جواب کلی معادله‌ی مثلثاتی $\frac{\cos (5 x) \cos (3 x) - \sin (3 x) \sin (x)}{\cos (2 x)} = 1$ را بیابید.

$<p>جواب کلی معادله&zwnj;ی مثلثاتی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mn>5</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>sin</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></mrow><mrow><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></math> را بیابید.</p>$

جواب کلی معادله‌ی مثلثاتی $\frac{\cos (5 x) \cos (3 x) - \sin (3 x) \sin (x)}{\cos (2 x)} = 1$ ، به کدام صورت است؟

$\frac{k π}{3}$
$\frac{k π}{2}$
$\frac{2 kπ}{5}$
$\frac{2 k π}{3}$

# ریاضیات # کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390

پاسخ‌ها

گزینه‌ی 1، با توجه به فرمول‌های تبدیل ضرب به جمع و نیز فرمول‌های تبدیل جمع به ضرب، داریم

$\frac{\cos (5 x) \cos (3 x) - \sin (3 x) \sin (x)}{\cos (2 x)} = 1 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} (\cos (8 x) + \cos (2 x)) - \frac{1}{2} (\cos (2 x) - \cos (4 x))}{\cos (2 x)} = 1 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} (\cos (8 x) + \cos (4 x))}{\cos (2 x)} = 1 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} (2 \cos ((\frac{8 + 4}{2}) x) \cos ((\frac{8 - 4}{2}) x))}{\cos (2 x)} = 1 \Rightarrow \frac{\cos (6 x) \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = 1 \overset{x \neq \frac{k π}{2} + \frac{π}{4}}{\to} \cos (6 x) = 1 \Rightarrow 6 x = 2 k π \Rightarrow x = \frac{kπ}{3}$