دنباله‌ی $\left\{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right\}$، چگونه است؟

گزینه‌ی 4،

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

چون دنباله همگراست، پس کراندار است.

برای تعیین یکنوا یا غیریکنوا بودن دنباله، ابتدا آن را به صورت زیر نوشته و از دنباله یا در واقع تابع نظیر آن، مشتق می‌گیریم.

$$\begin{gathered} a_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ =\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \\ =\sqrt{n^2+n}-n \\ {a}_n^{\text{'}}=\frac{2n+1}{2\sqrt{n^2+n}}-1 \end{gathered}$$

اما برای هر $n⩾1$، $a_n^{\text{'}}>0$ زیرا

$$\begin{gathered} a_n^{\text{'}}>0\Rightarrow \frac{2n+1}{2\sqrt{n^2+n}}>1 \\ \Rightarrow 2n+1>2\sqrt{n^2+n} \\ \Rightarrow 4n^2+4n+1>4n^2+4n \\ \Rightarrow 1>0 \end{gathered}$$

و چون رابطه‌ها بازگشت‌پذیرند، لذا $a_n^{\text{'}}>0$. بنابراین دنباله صعودی است.

توجه کنید که چون در گزینه‌ی 3، اشاره به غیریکنوایی دنباله شده است، نمی‌توانیم جمله‌ی اول را با حد آن مقایسه کنیم. زیرا این راه‌کار زمانی به کار می‌رود که بدانیم دنباله حتما یکنواست.