اگر $α$ و $β$ ریشه‌های معادله‌ی $x (5 x + 3) = 2$ باشند، به ازای کدام مقدار $k$ مجموعه جواب‌های معادله‌ی $4 x^{2} - k x + 25 = 0$ به صورت $\{\frac{1}{α^{2}}, \frac{1}{β^{2}}\}$ است؟

$<p>اگر <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi></math> ریشه&zwnj;های معادله&zwnj;ی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn></math> باشند، به ازای کدام مقدار <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> مجموعه جواب&zwnj;های معادله&zwnj;ی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>k</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>25</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></math> به صورت <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close="}"><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>α</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>β</mi><mn>2</mn></msup></mfrac></mrow></mfenced></math> است؟</p>$

# ریاضیات # کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390

پاسخ‌ها

می‌دانیم در معادله‌ی درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ اگر $a + c = b$ باشد، یکی از ریشه‌ها $- 1$ و دیگری $\frac{- c}{a}$ است. همچنین اگر $a + b + c = 0$ باشد، یکی از ریشه‌ها $1$ و دیگری $\frac{c}{a}$ است. پس ریشه‌ی معادله‌ی اول $α = - 1$ و ریشه‌ی معادله‌ی دوم $\frac{1}{α^{2}} = 1$ می‌باشد. لذا باید مجموع ضرایب معادله‌ی دوم صفر باشد.