اگر $A$ یک ماتریس وارون‌پذیر $3\times 3$ با درایه‌ها در میدان $\mathrm{ℝ}$ باشد و داشته باشیم $\text{tr} A = \text{tr} A^2=0$ و $\text{det} A=1$، آنگاه $A^3=I$.

اگر $f_A\left(x\right)$ و $f_{A^{-1}}\left(x\right)$ به ترتیب چندجمله‌ای مشخصه‌ی $A$ و $A^{-1}$ باشند، آنگاه با توجه به اینکه $\text{tr}\left(A\right)=0$ و $\text{det} A=1$، داریم $f_A\left(x\right)=x^3+ax-1$ بنابراین

$f_{A^{-1}}(X)=\dfrac{(-x)^3}{det A} f_A (\dfrac{1}{x})$

$= - x^3 (\dfrac{1}{x^3} + \dfrac{a}{x} -1) = x^3-ax^2-1$

بنابراین $\text{tr}\left(A^{-1}\right)=a$. با توجه به اینکه $f_A\left(A\right)=0$ و $\text{tr} \left(A^2\right)=0$ داریم

$$\begin{gathered} A^3+aA-I=0 \\ \Rightarrow A^2+aI =A^{-1} \\ \Rightarrow \text{tr}\left(A^2\right) +3a=\text{tr}\left(A^{-1}\right)=a \\ \Rightarrow 3a=a \Rightarrow a=0 \\ \Rightarrow f_A\left(x\right) = x^3-1 \\ \Rightarrow A^3-I=0 \Rightarrow A^3=I \end{gathered}$$