مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} | m, n \in ℕ\}$ را بیابید.

<p>مجموعه نقاط حدیِ مجموعه&zwnj;ی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close="}"><mrow><msqrt><mi>m</mi></msqrt><mo>-</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo>|</mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℕ</mi></mrow></mfenced></math> را بیابید.</p>

# آنالیز # آنالیز ریاضی 1 # آنالیز ریاضی

پاسخ‌ها

اگر $n$ عددی طبیعی باشد، داریم

$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

بنابراین اگر $n$ به بی‌نهایت میل کند، $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ به صفر میل می‌کند. اکنون اگر $ε > 0, x \in (0, \infty)$ مفروض باشد، اعداد طبیعی $N$ و $n_{0}$ موجود خواهد بود که

$\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}} < \frac{1}{N} < \frac{ε}{2}$

اگر $(0, \infty)$ را به قطعات با طول مساوی $\frac{1}{N}$ تقسیم کنیم، عدد طبیعی $k$ وجود خواهد داشت که

$k (\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}}) \in N_{ε} (x)$

که $N_{ε} (x)$ گوی باز حول $x$ به شعاع $ε$ است. اما

$k (\sqrt{n_{0} + 1} - \sqrt{n_{0}}) = \sqrt{k^{2} (n_{0} + 1)} - \sqrt{x^{2} n_{0}}$

بنابراین $N_{ε} (x)$ مجموعه‌ی مورد نظر را قطع می‌کند. برای $x \in (- \infty, 0)$ نیز می‌توان به طور مشابه استدلال کرد. بنابراین نقاط حدی این مجموعه برابر $ℝ$ است.

0 مخالف

0 موافق

سوالات مرتبط

0 موافق

0 مخالف

مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} | m, n \in ℕ\}$ را بیابید.

#آنالیز #آنالیز ریاضی 1 #آنالیز ریاضی

1399/04/13-01:41 1 پاسخ

مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی m-n| m,n ∈ℕ را بیابید.

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی m-n| m,n ∈ℕ را بیابید.

مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} | m, n \in ℕ\}$ را بیابید.

مجموعه نقاط حدیِ مجموعه‌ی $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} | m, n \in ℕ\}$ را بیابید.