نشان دهید

${\text{Hom}}_{\mathrm{\mathbb{Z}}}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6, \mathrm{\mathbb{Q}}\oplus {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$

بنابر قضیه‌ای

$\text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,\mathrm{\mathbb{Q}}\oplus {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong \text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,\mathrm{\mathbb{Q}})\oplus \text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,{\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)$

همچنین اگر $m$ و $n$ اعداد طبیعی باشند و $d=(m,n)$، آنگاه $\text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_m,{\mathrm{\mathbb{Z}}}_n)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_d$، بنابراین $\text{Hom}\left({\mathrm{\mathbb{Z}}}_{6,}{\mathrm{\mathbb{Z}}}_3\right)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$. از طرف دیگر اگر $G$ گروهی باشد که مرتبه هر عضو آن متناهی و $H$ گروه دیگری که به جز عضو همانی، عضوی از مرتبه‌ی متناهی نداشته باشد، آنگاه $\left|\text{Hom}(G,H)\right|=1$، زیرا اگر $\alpha :G\underset{}{\to }H$ یک همریختی و $x\in G$ دلخواه باشد، آنگاه $x$ از مرتبه‌ی متناهی مانند $k$ است، پس $x^k=e$ و لذا ${(\alpha \left(x\right))}^k=e$ و با توجه به خاصیت $H$، $\alpha \left(x\right)=e$ و در نتیجه $\alpha$ فقط همریختی بدیهی است. با توجه به توضیح فوق $\left|\text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,\mathrm{\mathbb{Q}})\right|=1$ و در نتیجه

$\text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,\mathrm{\mathbb{Q}}\oplus {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong \left\{e\right\}\oplus \text{Hom}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6,{\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$