فرض کنیم $M$ و $N$ دو $R$-مدول باشند و $\phi :M\to N$ یک $R$-همریختی پوشا. اگر $K و L$، زیرمدول‌هایی از $M$ باشند با این ویژگی که $M = K+L$ و $K \cap L = Ker\left(\phi \right)$. ثابت کنید $N = \phi \left(K\right) \oplus \phi \left(L\right)$.

فرض کنیم $n \in N$. می‌دانیم $\phi$ پوشاست پس عضوی مانند $m$ در $M$ موجود است که $\phi \left(m\right) = n$.

از طرفی طبق فرض می‌دانیم $m = k + l$ که در آن $k\in K$ و $l\in L$. بنابراین چون $\phi$ همریختی است پس $\phi \left(k\right) + \phi \left(l\right) = n$.

حال کافی است نشان دهیم $\phi \left(K\right)\cap \phi \left(L\right) = \left\{0\right\}$. فرض کنیم $x$ عضوی دلخواه از این اشتراک باشد، یعنی $x = \phi \left(k\right) = \phi \left(l\right)$ که در آن $k\in K$ و $l\in L$.

طبق تساوی قبل می‌توان گفت $k-l \in Ker\left(\phi \right)$ و طبق فرض می‌دانیم $K\cap L = Ker\left(\phi \right)$، پس $k - l \in K\cap L$. بنابراین بوضوح $k,l \in K\cap L= Ker\left(\phi \right)$.

در نتیجه:

$x = \phi \left(k\right) = \phi \left(l\right) = 0$.