فرض کنیم $M$ یک $R$-مدول باشد و $\phi :M\to M$ یک $R$-همریختی. اگر ${\phi }^2 = \phi$، ثابت کنید $M = \text{Ker}\left(\phi \right) \oplus \text{Im}\left(\phi \right)$.

برای حل سوال، ابتدا نشان می‌دهیم که هر عضو $M$ به صورت $x + y$ نوشته می‌شود که:

$$\begin{gathered} x \in \text{ker}\left(\phi \right) \\ y \in \text{Im}\left(\phi \right) \end{gathered}$$

می‌دانیم ${\phi }^2-\phi = 0$.

پس اگر $m$ عضوی دلخواه از $M$ باشد، خواهیم داشت:

$\phi \left(\phi \right(m)-m) = 0$

عبارت بالا به این معنی‌است که $\phi \left(m\right)-m \in \text{ker}\left(\phi \right)$. بنابراین با قرار دادن $y = \phi \left(m\right)$ داریم $m = y + x$ که $x\in \text{ker}\left(\phi \right)$.

در مرحله‌ی دوم باید نشان دهیم $\text{ker}\left(\phi \right) \cap \text{Im}\left(\phi \right) = \varnothing$.

فرض کنیم $x$ عضوی از این اشتراک باشد. پس $x = \phi \left(m\right)$ و از طرفی $\phi \left(x\right) = \phi \left(\phi \right(m\left)\right) =\phi \left(m\right) = 0$.

ولی می‌دانیم $x = \phi \left(m\right) = 0$. در نتیجه

$\text{ker}\left(\phi \right) \cap \text{Im}\left(\phi \right) = \left\{0\right\}$