فرض کنید $M$ ، $R$ -مدولی غیرصفر باشد. $N$ زیرمدول سره‌ای از $M$ و $x \in M \ N$ . ثابت کنید مجموعه‌ی $Γ = \{K \leq M | N \subset K, x \notin K\}$ عضوی ماکسیمال دارد.

$<p>فرض کنید <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>، <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>-مدولی غیرصفر باشد. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi></math> زیرمدول سره&zwnj;ای از <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mi>M</mi><mo>\</mo><mi>N</mi></math>. ثابت کنید مجموعه&zwnj;ی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Γ</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mi>K</mi><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mi>M</mi><mo> </mo><mo>|</mo><mo> </mo><mi>N</mi><mo>⊂</mo><mo> </mo><mi>K</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∉</mo><mo> </mo><mi>K</mi></mrow></mfenced></math> عضوی ماکسیمال دارد.</p>$

فرض کنید $M$ ، $R$ -مدولی غیرصفر باشد. $N$ زیرمدول سره‌ای از $M$ و $x \in M \ N$ . ثابت کنید:

مجموعه‌ی $Γ = \{K \leq M | N \subset K, x \notin K\}$ عضوی ماکسیمال دارد.
اگر $M = R x + N$ ، آن‌گاه $M$ زیرمدول ماکسیمالی دارد که شامل $N$ است و $x$ را در بر ندارد.