فرض کنیم $L$ یک $R$ -مدول باشد و $M$ و $N$ زیرمدول‌هایی از $L$ . اگر $M + N$ و $M \cap N$ متناهی-مولد باشند. نشان دهید $M$ و $N$ نیز متناهی-مولد هستند.

<p>فرض کنیم <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math> یک <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>-مدول باشد و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi></math> زیرمدول&zwnj;هایی از <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>. اگر <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo>+</mo><mi>N</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><mo> </mo><mo>∩</mo><mo> </mo><mi>N</mi></math>  متناهی-مولد باشند. نشان دهید <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>N</mi></math> نیز متناهی-مولد هستند.</p>

# جبر # جبر پیشرفته

پاسخ‌ها

طبق فرض می‌دانیم $M$ و $N$ متناهی-مولد است، پس

$M + N = < m_{1} + n_{1}, . . ., m_{t} + n_{t} > M \cap N = < x_{1}, . . ., x_{s} >$

حال فرض کنیم $m \in M$ ، بوضوح $m \in M + N$ ، یعنی:

$m = r_{1} (m_{1} + n_{1}) + . . . + r_{t} (m_{t} + n_{t})$

بنابراین

$r_{1} n_{1} + . . . + r_{t} n_{t} \in M \cap N$

پس توسط $x_{i}$ ها تولید می‌شود. در نتیجه برای $M$ خواهیم داشت:

$M = < m_{1}, . . ., m_{t}, x_{1}, . . ., x_{s} >$

پس $M$ و به طور مشابه $N$ نیز متناهی-مولد هستند.

0 مخالف

#جبر #نظریه اعداد #جبر و احتمال #ریاضیات گسسته

1399/02/19-19:14 1 پاسخ

فرض کنیم L یک R-مدول باشد و M و N زیرمدول‌هایی از L. اگر M+N و M ∩ N متناهی-مولد باشند. نشان دهید M و N نیز متناهی-مولد هستند.

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

باقی‌مانده‌ی تقسیم $2^{1373}$ بر $k$

دسته‌ی هم‌نهشتی عدد $-209$ به پیمانه‌ی $12$

رقم یکان عدد $(493623)^{4938}$

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

$gcd(n,n+1) = 1$

فرض کنیم $L$ یک $R$ -مدول باشد و $M$ و $N$ زیرمدول‌هایی از $L$ . اگر $M + N$ و $M \cap N$ متناهی-مولد باشند. نشان دهید $M$ و $N$ نیز متناهی-مولد هستند.