نشان دهید هر مدول پروژکتیو متناهی-مولد روی یک حلقه‌ی جابجایی موضعی، آزاد است.

فرض کنیم $M = <x_1,...,x_n>$ یک دستگاه مولد مینیمال و $m$ ایده‌آل ماکسیمال $R$ باشد. در این صورت مدول آزادی مانند $F$ با رتبه‌ی $n$ موجود است به طوری که دنباله‌ی زیر دقیق باشد.

$0\to K\to F\to M\to 0$

در این صورت دنباله‌ی زیر هم دقیق خواهد بود.

$0\to \frac{K}{mK}\to \frac{F}{mF}\to \frac{M}{mM}\to 0$

اما از طرفی می‌دانیم $\frac{M}{mM}$ و $\frac{F}{mF}$ به عنوان $\frac{R}{m}$- فضای برداری دارای بعد برابر هستند پس $K = mK$.

در نتیجه طبق لم ناکایاما $K = 0$. بنابراین $M$ آزاد است.