آیا $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{\mathbb{Z}}$}\right.$ پروژکتیو است؟

فرض کنیم $\frac{\mathrm{\mathbb{Q}}}{\mathrm{\mathbb{Z}}}$ پروژکتیو باشد. می‌دانیم هر دنباله‌ای که به یک مدول پروژکتیو ختم شود، شکافته می‌شود. پس دنباله‌ی دقیق زیر را در نظر بگیریم

$0\to \mathrm{\mathbb{Z}}\to \mathrm{\mathbb{Q}}\to \frac{\mathrm{\mathbb{Q}}}{\mathrm{\mathbb{Z}}}\to 0$

طبق فرض دنباله‌ی بالا شکافته می‌شود یعنی $\mathrm{\mathbb{Q}} \cong \mathrm{\mathbb{Z}}\oplus \frac{\mathrm{\mathbb{Q}}}{\mathrm{\mathbb{Z}}}$ و از طرفی جمع مستقیم دو مدول پروژکتیو، پروژکتیو است اما می‌دانیم $\mathrm{\mathbb{Q}}$ یک گروه آبلی پروژکتیو نیست.