نشان دهید مجموعه‌ی تمام بردارهایی از $ℝ^{3}$ که دارای طول حداکثر 1 باشند، زیرفضای برداری از $ℝ^{3}$ نیست

<p>نشان دهید مجموعه&zwnj;ی تمام بردارهایی از <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mn>3</mn></msup></math> که دارای طول حداکثر 1 باشند، زیرفضای برداری از <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mn>3</mn></msup></math> نیست</p>

فرض کنیم $W = \{(a, b, c) | a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 1\} \subset ℝ^{3}$ . به عبارت دیگر تمام $W$ بردارهایی باشد که طول آنها از 1 بیشتر نیست. نشان دهید این زیرمجموعه، یک زیرفضای برداری از $ℝ^{3}$ نیست.

# جبر خطی

پاسخ‌ها

برای این که نشان دهیم یک زیرمجموعه، زیرفضای برداری نیست، کافی‌است نشان دهیم که عمل‌های تعریف‌شده روی زیرمجموعه‌ی دلخواه ما بسته نیستند.

فرض کنیم $v = (1, 0, 0), w = (0, 1, 0)$ .

بوضوح هر دو عضو بالا، در $W$ هستند. اما مجموع آن‌ها یعنی:

$(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0)$

اما حاصل مجموع بالا در $W$ نیست زیرا $1^{2} + 1^{2} = 2 > 1$ . پس عمل تعریف شده روی $W$ بسته نیست.

0 مخالف

#جبر خطی

1399/03/30-02:01 1 پاسخ

نشان دهید مجموعه‌ی تمام بردارهایی از ℝ3 که دارای طول حداکثر 1 باشند، زیرفضای برداری از ℝ3 نیست

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

اگر $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$، آنگاه $A=0 \iff AA^t=0$

اگر $A \in M_{n \times n}(F)$ و $AA^t=0$، می‌توان نتیجه گرفت $A=0$؟

اگر $A$ خودتوان باشد، $I-A$ خودتوان است

حاصلضرب دو ماتریس خودتوان، خودتوان است؟

اگر ماتریس $A$، $m \times n$ و $B$، $n \times m$ باشد و $n < m$، آنگاه $AB$ معکوس‌پذیر نیست

نشان دهید مجموعه‌ی تمام بردارهایی از $ℝ^{3}$ که دارای طول حداکثر 1 باشند، زیرفضای برداری از $ℝ^{3}$ نیست