فرض کنیم $A$ ماتریسی حقیقی خودتوان باشد، کدام گزینه صحیح است؟

گزینه‌ی 3 صحیح است زیرا:

اگر $A$ را ماتریس $I$ در نظر بگیریم، گزینه‌های 1 و 2 رد می‌شوند.

اگر $A = \left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& & ⋮\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \cdots & 0\end{array}\right]$ گزینه‌ی 4 رد می‌شود.

دستگاه $\left[\begin{array}{c}I- \frac{1}{2}A\end{array}\right]X=0$ را در نظر بگیرید. نشان می‌دهیم این دستگاه فقط دارای جواب بدیهی $X=0$ است. می‌دانیم $A$ خودتوان است یعنی $A^2 = A$

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}I-\frac{1}{2}A\end{array}\right]X = 0 \\ \Rightarrow X = \frac{1}{2}AX \\ \Rightarrow AX = \frac{1}{2}{A}^{2}X = \frac{1}{2}AX \\ \Rightarrow \frac{1}{2}AX = 0 \Rightarrow X=0 \end{gathered}$$ 

در نتیجه $I-\frac{1}{2}A$ وارون‌پذیر است.