اگر ماتریس $A$، $m \times n$ و $B$، $n \times m$ باشد و $n < m$، آنگاه $AB$ معکوس‌پذیر نیست
اگر $A$ ماتریسی $m \times n$ و $B$ ماتریسی $n \times m$ باشد و $n < m$، آنگاه $AB$ معکوس‌پذیر نیست
# جبر خطیپاسخها
دستگاه $BX=0$ را در نظر بگیرید، چون $n < m$ پس تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات است و دستگاه جواب غیربدیهی دارد. حال اگر $AB$ معکوس‌پذیر باشد و فرض کنیم ماتریس $C$ معکوس آن باشد، پس $CAB = I$ لذا
$CABX=CA \times 0 = 0$
$\Rightarrow X = 0$
یعنی دستگاه جواب غیربدیهی ندارد و این متناقض با وجود جواب غیربدیهی برای دستگاه است، بنابراین $AB$ معکوس‌پذیر نیست.
سوالات مرتبط
اگر $A \in M_{n \times n}(F)$ و $AA^t=0$، می‌توان نتیجه گرفت $A=0$؟
1399/03/26-00:46 1 پاسخ
اگر ماتریس $A$، $m \times n$ و $B$، $n \times m$ باشد و $n < m$، آنگاه $AB$ معکوس‌پذیر نیست
1399/03/30-02:01 1 پاسخ