آزاد بودن $\mathbb{Z}_{n}$ به عنوان گروه آبلی

خیر، به ازای هیچ n ای آزاد نیست.

وقتی بخواهیم بگوییم مدولی آزاد است باید پایه‌ی مستقل پیدا کنیم. اگر آن مدول هیچ زیرمجموعه‌‌ی مستقلی نداشته باشد، بدیهی‌است که آزاد نخواهد بود.

در این مثال خاص نشان می‌دهیم که ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_n$ هیج زیرمجموعه و حتی هیچ عضو مستقلی ندارد، پس آزاد نیست. فرض کنیم $x$ عضوی از آن باشد.

دقت کنیم که وقتی این مدول را به عنوان $\mathrm{\mathbb{Z}}$-مدول در نظر می‌گیریم ضرایب از $\mathrm{\mathbb{Z}}$ می‌آیند پس بسادگی می‌توانیم بگوییم:

$\overline{nx} = 0$

پس هیچ زیرمجموعه‌ی مستقلی نداریم.