اگر $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$، آنگاه $A=0 \iff AA^t=0$

اگر $A=0$ باشد، آنگاه $AA^t = 0$. حال فرض کنیم $A = [a_{ij}]$ و $AA^t = 0$. قرار می‌دهیم $A^t = [b_{ij}]$ که در آن برای $1 \leq i,j \leq n$، $b_{ij} = a_{ji}$ و $C = AA^t = [c_{ij}] = 0$ لذا $\forall \hspace{0.5cm} 1 \leq i \leq n$

$0 = c_{ii} = \underset{r=1}{\overset{n}{\Sigma}} a_{ir}b_{ri} = \underset{r=1}{\overset{n}{\Sigma}} a_{ir}a_{ir}$

$= \underset{r=1}{\overset{n}{\Sigma}} a_{ir}a_{ir} = \underset{r=1}{\overset{n}{\Sigma}} a_{ir}^2$

از اینکه $a_{ir} \in \mathbb{R}$ لذا $a_{ir}^2 > 0$ پس $a_{ir}=0$ که $1 \leq i,r \leq n$ در نتیجه $A=0$.