آیا مجموع دو ایده‌آل اول، ایده‌آلی اول است؟

خیر، مجموع دو ایده‌آل اول لزوما ایده‌آلی اول نیست. به عنوان مثال ایده‌آل‌های اول زیر را در حلقه‌ی $\mathbb{C}[x,y]$ در نظر بگیرید

$P=(x^2 + y^2 - 1)$

$Q=(x)$

جمع این دو ایده‌آل برابر است با

$P+Q=(x^2+y^2-1,x)=(y^2-1,x)$

که ایده‌آل اول حلقه‌ی $\mathbb{C}[x,y]$ نیست. زیرا

$y^2-1=(y-1)(y+1) \in P+Q$

ولی $y-1$ و $y+1$ هیچکدام عضو $P+Q$ نیستند.