آیا $\mathbb{Q}$ به عنوان $\mathbb{Z}$-مدول، آزاد است؟

خیر، هر دو کسر مانند $a$ و $b$ در $\mathbb{Q}$ وابسته هستند، یعنی $m$ و $n$ ای در $\mathbb{Z}$ موجودند به طوری که

$ma+nb=0$

پس اگر $\mathbb{Q}$ یک $\mathbb{Z}$-مدول آزاد باشد، پایه‌اش یک عضو دارد($rank(\mathbb{Q}) = 1$)، یعنی دوری است ولی می‌دانیم $\mathbb{Q}$ گروهی($\mathbb{Z}$-مدول) دوری نیست و حتی با تعداد متناهی مولد نیز ساخته نمی‌شود.