باقی‌مانده‌ی عدد $2^{31} + 3^{31} + 4^{31}$ بر $7$

با فرض اول بودن عدد $p$، طبق قضیه‌ی فرما داریم:

$a^{p-1} \equiv^{p} 1$.

بنابراین $2^{6}\equiv^{7} 1$. می‌توانیم دو طرف را به توان $5$ برسانیم. در نتیجه $2^{30}\equiv^{7}  1$. یک توان کم داریم پس دو طرف را در $2$ ضرب می‌کنیم. داریم:

$2^{31} \equiv^{7} 2$

به طور مشابه داریم:

$3^{31} \equiv^{7} 3$

$4^{31} \equiv^{7} 4$

پس:

$2^{31} + 3^{31} + 4^{31} \equiv^{7} 2 + 3+ 4 \equiv^{7} 9 \equiv^{7} 2$