ثابت کنید

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$

مساحت $\triangle {ABC}$، $\frac{1}{2} \sin{(x)}$ است. مساحت قسمت رنگ شده $\frac{1}{2}x$ و مساحت $\triangle {ABD}$، $\frac{1}{2} \tan{(x)}$ است. پس داریم

$\frac{1}{2} \tan{(x)} \geq \frac{1}{2} x \geq \frac{1}{2} \sin{(x)}$

با تقسیم رابطه بالا بر $\frac{1}{2} \sin{(x)}$ خواهیم داشت

$\cos{(x)} \leq \frac{\sin{(x)}}{x} \leq 1$

از آنجایی که $\frac{\sin{(x)}}{x}$ و $\cos{(x)}$ توابع زوج هستند، رابطه بالا برای هر $x$ غیر صفر بین $-\frac{\pi}{2}$ و $\frac{\pi}{2}$ برقرار است. به علاوه چون $\cos{(x)}$ در همسایگی $0$ پیوسته است و $\cos{(0)}=1$، داریم

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(x)}}{x}=1$

همچنین با تقسیم رابطه دوم بر $\cos{(x)}$ خواهیم داشت

$1 \leq \frac{\tan{(x)}}{x} \leq \sec{(x)}$

جون $\sec{(x)}$ در همسایگی $0$ پیوسته است و $\sec{(0)}=1$، داریم

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan{(x)}}{x}=1$