ثابت کنید
$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$
بدون استفاده از سری تیلور $\sin$، $\cos$ و $\tan$ ثابت کنید
$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$
# ریاضیات
مساحت $\triangle {ABC}$، $\frac{1}{2} \sin{(x)}$ است. مساحت قسمت رنگ شده $\frac{1}{2}x$ و مساحت $\triangle {ABD}$، $\frac{1}{2} \tan{(x)}$ است. پس داریم
$\frac{1}{2} \tan{(x)} \geq \frac{1}{2} x \geq \frac{1}{2} \sin{(x)}$
با تقسیم رابطه بالا بر $\frac{1}{2} \sin{(x)}$ خواهیم داشت
$\cos{(x)} \leq \frac{\sin{(x)}}{x} \leq 1$
از آنجایی که $\frac{\sin{(x)}}{x}$ و $\cos{(x)}$ توابع زوج هستند، رابطه بالا برای هر $x$ غیر صفر بین $-\frac{\pi}{2}$ و $\frac{\pi}{2}$ برقرار است. به علاوه چون $\cos{(x)}$ در همسایگی $0$ پیوسته است و $\cos{(0)}=1$، داریم
$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(x)}}{x}=1$
همچنین با تقسیم رابطه دوم بر $\cos{(x)}$ خواهیم داشت
$1 \leq \frac{\tan{(x)}}{x} \leq \sec{(x)}$
جون $\sec{(x)}$ در همسایگی $0$ پیوسته است و $\sec{(0)}=1$، داریم
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan{(x)}}{x}=1$
اگر باشد، ضابطهی تابع را بیابید.
#ریاضیات #کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390
1399/05/15-23:22 1 پاسخ
اگر و ، نقطهی تلاقی مجانبهای نمودار تابع را بیابید.
#ریاضیات #کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390
1399/05/18-01:51 1 پاسخ