نشان دهید برای هر عدد طبیعی $n$

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}$

 

برای $n=1$ نامساوی بالا به وضوح برقرار است.

حال فرض کنیم که نامساوی برای $n=k$ برقرار باشد، یعنی

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{k}$

نشان می‌دهیم که برای $n=k+1$ نیز نامساوی برقرار است. داریم

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

$\geq \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

$=\frac{\sqrt{k+1}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$

$\geq \frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$

$=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$

$=\sqrt{k+1}$

بنابراین نامساوی داده شده به ازای هر عدد طبیعی $n$ برقرار است.