نشان دهید برای هر عدد طبیعی $n$
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}$
با استفاده از استقرای ریاضی نشان دهید که نامساوی زیر به ازای هر عدد طبیعی $n$ برقرار است.
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}$
# ریاضیات
برای $n=1$ نامساوی بالا به وضوح برقرار است.
حال فرض کنیم که نامساوی برای $n=k$ برقرار باشد، یعنی
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{k}$
نشان میدهیم که برای $n=k+1$ نیز نامساوی برقرار است. داریم
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$
$\geq \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$
$=\frac{\sqrt{k+1}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$
$\geq \frac{\sqrt{k}\sqrt{k}+1}{\sqrt{k+1}}$
$=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$
$=\sqrt{k+1}$
بنابراین نامساوی داده شده به ازای هر عدد طبیعی $n$ برقرار است.
اگر باشد، ضابطهی تابع را بیابید.
#ریاضیات #کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390
1399/05/15-23:22 1 پاسخ
اگر و ، نقطهی تلاقی مجانبهای نمودار تابع را بیابید.
#ریاضیات #کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390
1399/05/18-01:51 1 پاسخ