اگر $A$ یک ماتریس حقیقی $n \times n$ باشد و $A^2+I=0$، آنگاه $n$ عددی زوج است.

طبق فرض داریم $A^2+I=0$، پس چندجمله‌ای مینیمال $A$ به فرم زیر است

$m(x)=x^2+1$

طبق قضیه کیلی-همیلتون $m(x) | p(x)$، که در آن $p(x)$ چندجمله‌ای مشخصه‌ی $A$ است و چون $m(x)$ ریشه‌ی حقیقی ندارد، پس به ازای عددی مانند $k$ داریم

$p(x)=(x^2+1)^k$

از طرفی اگر $A$ یک ماتریس $n \times n$ باشد، آنگاه چندجمله‌ای مشخصه‌ی آن از درجه‌ی $n$ است. پس $n=2k$ و این یعنی $n$ عددی زوج است.

طبق فرض $A^2+I=0$، بنابراین داریم

$A^2=-I$

پس

$ (\det A)^2=\det (A^2)=\det (-I)=(-1)^n$

اگر $n$ فرد باشد، آنگاه $(\det A)^2=-1$ ولی این تساوی نمی‌تواند برای یک ماتریس حقیقی برقرار باشد پس $n$ باید عددی زوج باشد.