نشان دهید هر زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ در گروه از مرتبه $p^{(n)}$ یک زیرگروه نرمال است.

فرض کنیم $p$ عددی اول باشد

یک $p$-گروه، گروهی است که کاردینال آن توانی از $p$ باشد، یعنی مرتبه تمام اعضای گروه، توانی از $p$ باشد.

یک $p$-زیرگروه سیلو (یا زیرگروه $p$-سیلو) از گروه $G$، یک $p$-زیرگروه ماکسیمال از $G$ است، یعنی یک زیرگروه از $G$ که $p$-گروه است و زیرگروه سره‌ای از هیچ یک از $p$-زیرگروه‌های دیگر $G$ نیست.

قضیه دوم سیلو: اگر $G$ یک گروه متناهی و $p$ عددی اول باشد، تمام $p$-زیرگروه‌های سیلو از $G$ مزدوج یکدیگر هستند. یعنی اگر $H$ و $K$ $p$-زیرگروه‌های سیلو از $G$ باشند، آنگاه یک عضو $g \in G$ وجود دارید به طوری که

$g^{-1} H g=K$

حال فرض کنیم $n_p$ تعداد $p$-زیرگروه‌های سیلو از $G$ باشد.

نتیجه بسیار مهم قضیه دوم سیلو این است که شرط $n_p =1$ معادل است با اینکه بگوییم $p$-زیرگروه سیلو از $G$ یک زیرگروه نرمال است.

از قضیه سوم سیلو داریم

$n_p \equiv 1 (mod \hspace{0.2cm} p)$

می‌دانیم که هر زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ در گروه از مرتبه $p^{(n)}$ یک $p$-زیرگروه ماکسیمال است و تعداد $p$-زیرگروه‌های ماکسیمال چنین گروهی حداکثر می‌تواند $p$ تا باشد که چنین حالتی نمی‌توان اتفاق بیفتد، بنابراین زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ تنها $p$-زیرگروه سیلو از گروه با مرتبه $p^{(n)}$ است یعنی $n_p=1$.