نشان دهید که اگر $H$ و $K$ زیرگروه‌های گروه $G$ باشند، آنگاه $H \cap K$ نیز زیرگروه $G$ است.

اشتراک هر تعداد از زیرگروه‌های $G$، زیرگروهی از $G$ است زیرا شامل عضو همانی است و اگر

$a,b \in \bigcap^{\infty}_{i=1} H_{i}$

 آنگاه به ازای هر $i$

 $a,b \in H_{i}$

بنابراین برای هر $i$

$ab^{-1} \in H_{i}$

پس

$ab^{-1} \in \bigcap^{\infty}_{i=1} H_{i}$

چون $H$ و $K$ هر دو زیرگروه $G$ هستند، به وضوح عضو همانی $e$ در هر دوی این زیرگروه‌ها هست. بنابراین

$e \in H \cap K$

پس $H \cap K$ یک زیرمجموعه ناتهی از گروه $G$ است.

فرض کنیم $a,b \in H \cap K$، آنگاه $a,b \in H$ و $a,b \in K$ و چون $H$ و $K$ زیرگروه‌های $G$ هستند، داریم

$ab \in H$ و $a^{-1} \in H$

$ab \in K$ و $a^{-1} \in K$

پس

$ab \in H \cap K$ و $a^{-1} \in H \cap K$

بنابراین $H \cap K$ زیرگروه $G$ است.