$R$ میدان است اگر و تنها اگر دقیقا دو ایده‌آل داشته باشد.

اثبات شرط لازم:

فرض کنیم $R$ میدان باشد. چون $R$ حلقه‌ای ناصفر است داریم $R \neq 0$ و لذا $R$ یقینا دارای دو ایده‌آل متمایز، یعنی خودش و ایده‌آل صفر، است.

ولی این‌ها تنها ایده‌آل‌های $R$ هستند زیرا اگر $I$ ایده‌آل $R$ باشد و $I \neq0$ آنگاه $I$ عضو غیرصفری چون $r$ دارد و چون $r$ یک عضو وارون‌پذیر است، نتیجه می‌گیریم

$R=Rr \subseteq I \subseteq R$

و لذا $R=I$. پس ثابت کردیم که هر میدان دقیقا دو ایده‌آل دارد.

اثبات شرط کافی:

از آنجایی که حلقه جابجایی‌ای که صفر باشد تنها دارای یک ایده‌آل (خود حلقه) است، لذا $R$ صفر نیست. فرض کنید $r \in R$ و $r \neq 0$. باید نشان دهیم که $r$ یک عضو وارون‌پذیر $R$ است.

ایده‌آل اصلی $Rr$ از $R$ صفر نیست زیرا $r \in Rr$. چون $R$ و $0$ دو ایده‌آل $R$ اند و می‌دانیم که این دو متفاوت‌اند، پس باید $Rr=R$ و لذا عضوی چون $u$ وجود دارد که $u \in R$ و $ur=1$ لذا $r$ یک عضو وارون‌پذیر $R$ است و در نتیجه $R$ یک میدان است.