نشان دهید اگر در حلقه‌ی $R$ عناصر $a$ و $b$ و $a + b$ خودتوان باشند، آنگاه $a b$ نیز خودتوان است.

از اینکه $a$ و $b$ و $a + b$ خودتوان هستند، داریم

$a + b = {(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a + a b + b a + b$

بنابراین $a b + b a = 0$ و $a b = - b a$ . اکنون می‌توان نوشت

$a b = a^{2} b = a (a b) = a (- b a) = - (a b) a = - (- b a) a = b a^{2} = b a$

در نتیجه $a$ و $b$ با هم جابجا می‌شوند. پس ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2} = a b$ ، یعنی $a b$ خودتوان است.

0 مخالف

1 موافق

0 موافق

0 مخالف

1399/02/11-18:54 1 پاسخ

0 موافق

0 مخالف

1399/02/13-21:27 1 پاسخ

1 موافق

0 مخالف

1399/02/13-22:28 1 پاسخ

0 موافق

0 مخالف

1399/02/14-17:45 1 پاسخ

1 موافق

0 مخالف

1399/02/16-22:33 1 پاسخ

نشان دهید اگر در حلقه‌ی R عناصر a و b و a+b خودتوان باشند، آنگاه ab نیز خودتوان است.