فرض کنید $f,g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$، $f\left(n\right)=n$ و $g\left(n\right)={\log }_2\left(n\right)$ برای $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$. نشان دهید که $g\in O\left(f\right)$ ولی $f\notin O\left(g\right)$.

برای همه مقادیر $n\ge 1$، ${\log }_2\left(n\right)\le n$. پس با فرض $k=1$ و $m=1$ داریم

$\left|g\left(n\right)\right|={\log }_2\left(n\right)\le n=m·n=m\left|f\left(n\right)\right|$

بنابراین $g\in O\left(f\right)$. برای اینکه نشان دهیم $f\notin O\left(g\right)$، ابتدا  با استفاده از قاعده‌ی هوپیتال در حسابان داریم

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{{\log }_2\left(n\right)}=+\infty$

حال چون $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{{\log }_2\left(n\right)}=+\infty$، برای هر $m\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ و $k\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$، $n$ای متعلق به ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$ وجود دارد به طوری که $\frac{n}{{\log }_2\left(n\right)}>m$ یا

$\left|f\left(n\right)\right|=n>m{\log }_2\left(n\right)=m\left|g\left(n\right)\right|$

بنابراین $f\notin O\left(g\right)$.