اگر $g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ و $c \in ℝ$ ، تابع $c g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ را بوسیله‌ی $(c g) (n) = c (g (n))$ ، برای هر $n \in ℤ^{+}$ تعریف می‌کنیم. ثابت کنید که اگر $f, g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ با $f \in O (g)$ ، آنگاه $f \in O (c g)$ به ازای $c \in ℝ^{+}$ ، $c \neq 0$ .

<p><span style="line-height: 24pt;">اگر <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mo>:</mo><msup><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>+</mo></msup><mover><mo>→</mo><mrow></mrow></mover><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math>، تابع <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mi>g</mi><mo>:</mo><msup><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>+</mo></msup><mover><mo>→</mo><mrow></mrow></mover><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math> را بوسیله&zwnj;ی <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>c</mi><mi>g</mi></mrow></mfenced><mfenced><mi>n</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>c</mi><mfenced><mrow><mi>g</mi><mfenced><mi>n</mi></mfenced></mrow></mfenced></math>، برای هر <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>∈</mo><msup><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>+</mo></msup></math> تعریف می&zwnj;کنیم. </span><span style="line-height: 24pt;">ثابت کنید که اگر <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>,</mo><mi>g</mi><mo>:</mo><msup><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>+</mo></msup><mover><mo>→</mo><mrow></mrow></mover><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math> با <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>∈</mo><mi>O</mi><mfenced><mi>g</mi></mfenced></math>، آنگاه <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>∈</mo><mi>O</mi><mfenced><mrow><mi>c</mi><mi>g</mi></mrow></mfenced></math> به ازای <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>∈</mo><msup><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>+</mo></msup></math>، <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>.</span></p>

اگر $g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ و $c \in ℝ$ ، تابع $c g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ را بوسیله‌ی $(c g) (n) = c (g (n))$ ، برای هر $n \in ℤ^{+}$ تعریف می‌کنیم.

ثابت کنید که اگر $f, g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ با $f \in O (g)$ ، آنگاه $f \in O (c g)$ به ازای $c \in ℝ^{+}$ ، $c \neq 0$ .

راهنمایی: فرض کنید $f, g : ℤ^{+} \overset{}{\to} ℝ$ . می‌گوییم $g$ بر $f$ غالب (یا $f$ مغلوب $g$ ) است اگر ثابت‌های $m \in ℝ^{+}$ و $k \in ℤ^{+}$ وجود داشته باشند به طوری که به ازای هر مقدار $n \in ℤ^{+}$ و $n \geq k$ ، نابرابری $|f (n)| \leq m |g (n)|$ برقرار باشد. وقتی $f$ مغلوب $g$ باشد می‌نویسیم $f \in O (g)$ . در واقعا $O (g)$ معرف مجموعه‌ی همه‌ی توابع با دامنه $ℤ^{+}$ و برد $ℝ$ است که مغلوب $g$ هستند.

# ریاضیات # ترکیبیات # ریاضیات گسسته

پاسخ‌ها

چون $f \in O (g)$ لذا مقادیری مانند $m \in ℝ^{+}$ و $k \in ℤ^{+}$ می‌توان یافت به طوری که برای همه مقادیر $n \geq k$ ،

$|f (n)| \leq m |g (n)|$

اما در اینصورت برای همه مقادیر $n \geq k$ ،

$|f (n)| \leq [\frac{m}{|c|}] |c g (n)|$

لذا $f \in O (c g)$ .

0 مخالف

#جبر #نظریه اعداد #ریاضیات گسسته

1399/02/19-19:33 1 پاسخ

اگر g:ℤ+→ℝ و c∈ℝ، تابع cg:ℤ+→ℝ را بوسیله‌ی cgn=cgn، برای هر n∈ℤ+ تعریف می‌کنیم. ثابت کنید که اگر f,g:ℤ+→ℝ با f∈Og، آنگاه f∈Ocg به ازای c∈ℝ+، c≠0.

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

اول مهرماه و 22 بهمن سالی که با سه‌شنبه آغاز می‌شود

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

قرار گرفتن $7$ مسافر در یک اتاق سه تخته و دو اتاق دو تخته

$gcd(n,n+1) = 1$

جواب معادله‌ی $x^{5} + 8x \equiv^{5} 1$