برای هر $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$، $n\ge 0$ ثابت کنید $2^{2n+1}+1$ بر $3$ و $n^3+{\left(n+1\right)}^3+{\left(n+2\right)}^3$ بر $9$ بخش‌پذیر هستند و $\frac{n^7}{7}+\frac{n^3}{3}+\frac{11n}{21}$ عددی صحیح است.

ج) فرض کنیم $n=0$

$\left(\frac{n^7}{7}\right)+\left(\frac{n^3}{3}\right)+\left(\frac{11n}{21}\right)=0$

که عددی صحیح است. لذا حکم برای این حالت برقرار است. با فرض اینکه حکم برای $n=k\ge 0$ برقرار باشد، خواهیم داشت

$\left(\frac{k^7}{7}\right)+\left(\frac{k^3}{3}\right)+\left(\frac{11k}{21}\right)\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

حال به حالت $n=k+1$ برمی‌گردیم. در این حالت داریم

$$\begin{gathered} \left(\frac{{\left(k+1\right)}^7}{7}+\frac{{\left(k+1\right)}^3}{3}+\frac{11\left(k+1\right)}{21}\right) \\ =\left[\left(\frac{k^7}{7}\right)+\left(\frac{k^3}{3}\right)+\left(\frac{11k}{21}\right)\right] \\ +\left[\frac{\left(7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k\right)}{7}\right] \\ +\left[\frac{\left(3k^2+3k\right)}{3}\right] \\ +\left[\left(\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{11}{21}\right)\right] \end{gathered}$$

که بنابر فرض استقرا اولین جمعوند عددی صحیح است و جمعوند دوم و سوم نیز چون صورتشان بر مخرجشان بخش‌پذیر است، اعدادی صحیح هستند. لذا درستی حکم برای $n=k+1$ بستگی به این دارد که آخرین جمعوند عددی صحیح است یا خیر. اما این جمعوند عددی صحیح است زیرا

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{11}{21}\right) \\ =\frac{\left(3+7+11\right)}{21}=1\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

بنابراین بر اساس اصل استقرای ریاضی، حکم برای همه‌ی مقادیر $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ برقرار است.

ب) گزاره برای حالت $n=0$ برقرار است زیرا

$0^3+{\left(0+1\right)}^3+{\left(0+2\right)}^3=9$

حال درستی قضیه را برای $n=k\ge 0$ می‌پذیریم و برای $n=k+1$ بررسی می‌کنیم.

داریم

$$\begin{gathered} {\left(k+1\right)}^3+{\left(k+2\right)}^3+{\left(k+3\right)}^3 \\ ={\left(k+1\right)}^3+{\left(k+2\right)}^3+\left[k^3+9k^2+27k+27\right] \\ =\left[k^3+{\left(k+1\right)}^2+{\left(k+2\right)}^3\right]+\left[9\left(k^2+3k+3\right)\right] \end{gathered}$$

که در آن اولین جمعوند بنابر فرض استقرا بر $9$ بخش‌پذیر است. بنابراین چون حکم برای $n=0$ درست است و درست بودن برای $n=k\left(\ge 0\right)$، درستی برای $n=k+1$  نتیجه می‌دهد، لذا از اصل استقرای ریاضی نتیجه می‌شود که حکم برای همه‌ی اعداد صحیح $n\ge 0$ درست است.

الف) برای $n=0$ داریم

$2^{2n+1}+1=2+1=3$

لذا در این حالت حکم برقرار است. حال فرض کنیم برای $n=k\in \mathrm{\mathbb{N}}$، $2^{2k+1}$ بر $3$ بخش‌پذیر باشد، می‌خواهیم ثابت کنیم برای $n=k+1$ نیز حکم برقرار است.

از آنجایی که داریم

$$\begin{gathered} 2^{2\left(k+1\right)+1}+1 \\ =2^{2k+3}+1 \\ =4\left(2^{2k+1}\right)+1 \\ =4\left(2^{2k+1}+1\right)-3 \end{gathered}$$

و $3$ هر دو عددِ $2^{2k+1}+1$ و $3$ را عاد می‌کند، نتیجه می‌شود که $3$ عدد $2^{2\left(k+1\right)+1}+1$ را عاد می‌کند. بنابراین وقتی حکم برای $n=k$ درست باشد، برای $n=k+1$ نیز درست است. لذا بنابر اصل استقرای متناهی نتیجه برای همه‌ی مقادیر $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ حاصل می‌شود.