شهودی از دترمینان یک ماتریس

<div class="J0lOec"><span class="VIiyi" lang="fa"><span class="JLqJ4b ChMk0b" data-language-for-alternatives="fa" data-language-to-translate-into="en" data-phrase-index="0"><span style="line-height: 24pt;">شهودی از دترمینان یک ماتریس</span><br /></span></span></div>

در کلاس‌های درس جبر خطی، در مورد دترمینان بسیار صحبت شده است. می‌دانیم که وقتی دترمینان یک ماتریس صفر است، معکوس ندارد. می‌توانیم دترمینان یک ماتریس 2 × 2 را با فرمول پیدا کنیم و همچنین می‌توانیم با تقسیم‌بندی یک ماتریس n × n به ماتریس‌های کوچک‌تر، دترمینان آن را محاسبه کنیم.
آیا کسی می‌تواند شهودی از مفهوم دترمینان به من بدهد؟

# ریاضیات # جبر خطی

پاسخ‌ها

مشکل شما با دترمینان یک مشکل بسیار معمول است. مفهوم دترمینان را به سختی می‌توان آموزش داد، زیرا اولاً فرمول‌هایی که برای محاسبه دترمینان می‌آموزید بسیار نامرتب و پیچیده هستند و دوماً هیچ روش «طبیعی» برای تفسیر مقدار دترمینان وجود ندارد (مثلا مشتق را به آسانی به عنوان شیب خط مماس تفسیر می‌کنیم). وقتی مشخص نیست که این اعداد به چه معنا هستند و از کجا آمده‌اند، درک روابط بین آنها دشوار است.

در ادامه برخی از خصوصیات کلی دترمینان را بیان کنم که برای تعیین منحصر به فرد اینکه چه عددی باید هنگام قرار دادن در یک ماتریس مشخص بدست آورید، کافی هستند.

اگر می‌خواهید یک تعریف "انتزاعی" از دترمینان داشته باشید، اولین چیزی که باید بدانید این است که دترمینان فقط یک آرایه از اعداد همراه با دو خط در دو طرف آنها نیست، بلکه آنچه در حقیقت ما به دنبال آن هستیم یک تابع است که

N

بردار (

N

ستون ماتریس) را می‌گیرد و یک عدد به ما می‌دهد. بدون کاستن از کلیت موضوع،‌فرض کنیم که با اعداد حقیقی کار می‌کنیم.

اکنون به یاد بیاوریم که عملیات زیر چگونه مقدار رترمینان را تغییر می‌دهند:

جابجایی دو سطر و یا دو ستون ماتریس، علامت دترمینان را تغییر می‌دهد.
هرگاه یک سطر ماتریس را در عدد ثابتی ضرب کنیم، دترمینان در آن عدد ضرب می‌شود.
واقعیتی کلی که شماره 2 از آن نتیجه می‌شود: دترمینان در هر سطر خطی است. یعنی اگر به آن به عنوان یک تابع $d e t : ℝ^{n^{2}} \underset{}{\to} ℝ$ نگاه کنیم، آنگاه

$d e t (a \vec{v_{1}} + b \vec{w_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{n}}) = a d e t (\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{n}}) + b d e t (\vec{w_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{n}})$
دترمینان ماتریس همانی $I$ برابر است با 1.

شرایط بالا برای تعریف یک تابع منحصر به فرد که $N$ بردار (هر کدام به طول $N$ ) را بگیرد و یک عدد حقیقی (دترمینان ماتریس ساخته شده توسط آن بردارها) بدهد، کافی هستند.

یک راه هندسی خوب برای درک دترمینان وجود دارد. مکعب واحد را در فضای $N$ بعدی در نظر بگیرید: مجموعه بردارهای با طول $N$ با مختصات $0$ و یا $1$ در هر نقطه.

دترمینانِ تبدیل خطی (ماتریس) $T$ ، حجمِ علامت‌دارِ ناحیه‌ای است که با اثر دادن $T$ بر روی مکعب واحد بدست آمده است. اگر در مورد علامت‌دار بودن چیزی نمی‌دانید نگران نباشید.

این تعبیر چگونه از تعریف انتزاعی ما حاصل می‌شود؟

اگر تبدیل خطی همانی را بر مکعب واحد اعمال کنیم، همان مکعب واحد را به ما می‌دهد و حجم مکعب واحد 1 است.

اگر مکعب را با یک عامل ثابت فقط در یک جهت بکشید، حجم جدید همان عدد ثابت خواهد بود و اگر دو مکعب را در یک راستا با هم قرار دهید، حجم ترکیب آنها مجموع حجم آنها خواهد بود. همه‌ی اینها نشان می‌دهد که حجم علامت‌دار هنگامی که به عنوان تابعی از بردار‌های ورودی در نظر گرفته شود، در هر مختصاتی خطی است.

و در نهایت هنگامی که دو برداری که مکعب را تعریف می‌کنند جابجا می‌کنید، در حقیقت جهت را عوض کرده‌اید.

بنابراین روش‌هایی وجود دارد که بتوانید شهودی از مفهوم دترمینان پیدا کنید.

اگر حساب چندمتغیره را مطالعه کره باشید، با این تعبیر هندسی دترمینان می‌توانید دریابید که چرا هنگامی که مختصات را برای یک‌پارچه‌سازی تغییر می‌دهیم، دترمینان‌ها (جاکوبین) ظاهر می‌شوند.

نکته: مشتق یک تقریب خطی از تایع مربوطه است. یک "عنصر حجم دیفرانسیل" را دز سیستم مختصات شروع خود در نظر بگیرید.

بررسی این موضوع که مساحت متوازی الاضلاع تشکیل شده توسط بردارهای $(a, b)$ و $(c, d)$ ، $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ است، کار سختی نیست.

0 مخالف

#ریاضیات #کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390

1399/05/18-01:51 1 پاسخ

شهودی از دترمینان یک ماتریس

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

اگر α و β ریشه‌های معادله‌ی x(5x+3)=2 باشند، به ازای کدام مقدار k مجموعه جواب‌های معادله‌ی 4x2-kx+25=0 به صورت 1α2,1β2 است؟

مجموع سری ∑k=1∞8k-5k+110k را بیابید.

اگر fx=x1+x2 باشد، ضابطه‌ی تابع f-1(sinx) را بیابید.

از نقطه‌ی A0,α دو خط مماس عمود بر هم بر منحنی به معادله‌ی y=12x2+3 رسم شده است. α را بیابید.

اگر fx=x+11x2-3x-4 و gx=3x-4، نقطه‌ی تلاقی مجانب‌های نمودار تابع f-g را بیابید.

اگر $α$ و $β$ ریشه‌های معادله‌ی $x (5 x + 3) = 2$ باشند، به ازای کدام مقدار $k$ مجموعه جواب‌های معادله‌ی $4 x^{2} - k x + 25 = 0$ به صورت $\{\frac{1}{α^{2}}, \frac{1}{β^{2}}\}$ است؟

مجموع سری $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{8^{k} - 5^{k + 1}}{10^{k}}$ را بیابید.

اگر $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ باشد، ضابطه‌ی تابع $f^{- 1} (\sin x)$ را بیابید.

از نقطه‌ی $A (0, α)$ دو خط مماس عمود بر هم بر منحنی به معادله‌ی $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3$ رسم شده است. $α$ را بیابید.

اگر $f (x) = \frac{x + 11}{x^{2} - 3 x - 4}$ و $g (x) = \frac{3}{x - 4}$ ، نقطه‌ی تلاقی مجانب‌های نمودار تابع $f - g$ را بیابید.