ثابت کنید $\cos \left(1°\right)$ عددی گنگ است.

اثبات به برهان خلف است. فرض کنید $\cos \left(1°\right)$ عددی گویا باشد. با توجه به اتحاد

$\cos \left(2x\right)=2{\left(\cos \left(x\right)\right)}^2-1$

نتیجه می‌شود که

$\cos \left(2°\right)=2{\left(\cos \left(1°\right)\right)}^2-1$

نیز گویاست. حال از آنجایی که

$\cos \left(n°+1°\right)+\cos \left(n°-1°\right)=2\cos \left(n°\right)\cos \left(1°\right)$

اگر در این رابطه قرار دهیم $n=2$ آنگاه با توجه به اینکه $\cos \left(1°\right)$ و $\cos \left(2°\right)$ گویا بودند، گویا بودن $\cos \left(3°\right)$ نتیجه می‌شود. به طور مشابه با قرار دادن $n=3$ نتیجه می‌گیریم $\cos \left(4°\right)$ گویا است. با ادامه این روند نتیجه می‌گیریم که برای همه مقادیر صحیح و مثبت $n$ فرض گویا بودن $\cos \left(1°\right)$، گویا بودن $\cos \left(n°\right)$ را نتیجه می‌دهد و این تناقض است زیرا مثلا $\cos \left(30°\right)$ گویا نیست.