فرض کنید $V$ فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ $F$ از اعداد مختلط باشد و $α$ ، $β$ و $γ$ در $V$ مستقل خطی باشند. ثابت کنید $(α + β)$ ، $(β + γ)$ و $(γ + α)$ دارای استقلال خطی‌اند.

<p>فرض کنید <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math> فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math> از اعداد مختلط باشد و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>، <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>γ</mi></math> در <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi></math> مستقل خطی باشند. ثابت کنید <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi></mrow></mfenced></math>، <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>β</mi><mo>+</mo><mi>γ</mi></mrow></mfenced></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>γ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced></math> دارای استقلال خطی&zwnj;اند.</p>

# ریاضیات # جبر # جبر خطی

پاسخ‌ها

فرض می‌کنیم

$λ_{1} (α + β) + λ_{2} (β + γ) + λ_{3} (γ + α) = 0 \Rightarrow (λ_{1} α + λ_{2} β + λ_{3} γ) + (λ_{1} β + λ_{2} γ + λ_{3} α) = 0 \Rightarrow (λ_{1} + λ_{3}) α + (λ_{2} + λ_{1}) β + (λ_{2} + λ_{3}) γ = 0$

حال چون بردارهای و و استقلال خطی دارند، پس ضرایب همگی صفر هستند. یعنی

$\{\begin{cases} λ_{1} + λ_{3} = 0 \\ λ_{2} + λ_{1} = 0 \\ λ_{2} + λ_{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{matrix} λ_{2} - λ_{3} = 0 \\ λ_{2} + λ_{3} = 0 \end{matrix} \Rightarrow 2 λ_{2} = 0 \Rightarrow λ_{2} = 0 \Rightarrow λ_{3} = 0 = λ_{1}$

0 مخالف

#جبر #جبر و احتمال #ریاضیات گسسته

1399/02/16-22:33 1 پاسخ

فرض کنید V فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ F از اعداد مختلط باشد و α، β و γ در V مستقل خطی باشند. ثابت کنید α+β، β+γ و γ+α دارای استقلال خطی‌اند.

پاسخ‌ها

پیش نمایش پاسخ

سوالات مرتبط

باقی‌مانده‌ی تقسیم $2^{1373}$ بر $k$

دسته‌ی هم‌نهشتی عدد $-209$ به پیمانه‌ی $12$

رقم یکان عدد $(493623)^{4938}$

اول مهرماه و 22 بهمن سالی که با سه‌شنبه آغاز می‌شود

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

فرض کنید $V$ فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ $F$ از اعداد مختلط باشد و $α$ ، $β$ و $γ$ در $V$ مستقل خطی باشند. ثابت کنید $(α + β)$ ، $(β + γ)$ و $(γ + α)$ دارای استقلال خطی‌اند.