دستگاه معادلات $AX=0$ را که در آن $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$، یک ماتریس $2\times 2$ روی میدان $F$ است، در نظر بگیرید و احکام زیر را ثابت کنید.

3. فرض کنیم $\left(x_1,x_2\right)$ یک جواب دستگاه باشد و $a\ne 0$. پس $d=\frac{bc}{a}$ و در نتیجه داریم

$\left\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2=0\\ c{x}_1+\frac{bc}{a}{x}_2=0\end{array}\right.$

• اگر $c\ne 0$، آنگاه

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+\frac{b}{a}{x}_2=0\\ x_1+\frac{b}{a}{x}_2=0\end{array}\right.$

قرار می‌دهیم $\left\{\begin{array}{l}{x}_1^{°}=-b\\ x_2^{°}=a\end{array}\right.$ که یک جواب غیربدیهی دستگاه است. چون $a\ne 0$ پس $y$ای وجود دارد به طوری که

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=y{x}_1^{°}=y\left(-b\right)\\ x_2=y{x}_2^{°}=ya\end{array}\right.$

یک جواب برای دستگاه پیدا کردیم و در نتیجه بی‌نهایت دسته جواب برای دستگاه می‌توان ساخت که مضربی از جواب بدست آمده باشد.

• اگر $c=0$ داریم

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+\frac{b}{a}{x}_2=0\\ 0=0\end{array}\right.$

بنابریان دستگاه به یک معادله‌ی $x_1+\frac{b}{a}{x}_2=0$ تبدیل می‌شود. مانند بالا ثابت می‌شود که صفر بودن $c$ نه در جواب و نه در مقدار جواب تاثیری ندارد.

برعکس هرگاه $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=y{x}_1^{°}\\ x_2=y{x}_2^{°}\end{array}\right.$، آنگاه $\left(x_1,x_2\right)$ یک جواب دستگاه است. از مفروضات مسئله داریم

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a{x}_1^{°}+b{x}_2^{°}=0\\ c{x}_1^{°}+d{x}_2^{°}=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a{x}_1^{°}y+b{x}_2^{°}y=0\\ c{x}_1^{°}y+d{x}_2^{°}y=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a{x}_1^{}+b{x}_2^{}=0\\ c{x}_1^{}+d{x}_2^{}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

پس $\left(x_1,x_2\right)$ در معادله صدق می‌کند و یک جواب دستگاه است. همچنین اگر $y=0$، آنگاه دستگاه همگن دارای جواب بدیهی است.

2. فرض کنیم دستگاه دارای جواب غیربدیهی $\left(x_1,x_2\right)$ باشد که $x_1\ne 0$. بنابراین برای هر $b,d$ داریم

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}-d\\ -b\end{array}\left\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2=0\\ c{x}_1+d{x}_2=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left(ad-bc\right)x_1=0 \end{gathered}$$

در نتیجه $ad-bc=0$ که این متناقض با فرض مسئله است. پس دستگاه تنها دارای جواب بدیهی $\left(0,0\right)$ است.

1. فرض کنیم همه‌ی درایه‌های $A$ صفر باشد، یعنی $a,b,c,d=0$. بنابراین

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2=0\\ c{x}_1+d{x}_2=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0\times x_1+0\times x_2=0\\ 0\times x_1+0\times x_2=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

پس هر جفت $\left(x_1,x_2\right)$ در دستگاه صدق می‌کند و یک جواب دستگاه خواهد بود.