همه‌ی جواب‌های دستگاه معادلات $\left\{\begin{array}{l}\left(1-i\right)x_1-i{x}_2=0\\ 2x_1+\left(1-i\right)x_2=0\end{array}\right.$ را بدست آورید.

اگر دو ماتریس $m\times n$، $A$ و $B$ هم‌ارز سطری باشند، آنگاه جواب‌های دو دستگاه معادلات خطی $AX=0$ و $BX=0$ یکی هستند.

حال فرض کنیم $A=\left[\begin{array}{cc}1-i& -i\\ 2& 1-i\end{array}\right]$ باشد، ماتریس تحویل شده‌ی $A$ را به ترتیب زیر بدست می‌آوریم

$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}1-i& -i\\ 2& 1-i\end{array}\right] \\ \stackrel{i{R}_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}1+i& 1\\ 2& 1-i\end{array}\right] \\ \stackrel{2R_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}2+2i& 2\\ 2& 1-i\end{array}\right] \\ \stackrel{i{R}_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}2+2i& 2\\ 2i& 1+i\end{array}\right] \\ \underset{R_2\to R_1}{\overset{R_1\to R_2}{\to }}\left[\begin{array}{cc}2i& 1+i\\ 2+2i& 2\end{array}\right] \\ \stackrel{-R_1+R_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}2i& 1+i\\ 2& 1-i\end{array}\right] \\ \stackrel{i{R}_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}2i& 1+i\\ 2i& 1+i\end{array}\right] \\ \stackrel{-R_1+R_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{cc}2i& 1+i\\ 0& 0\end{array}\right] \\ \stackrel{i{R}_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}-2& i-1\\ 0& 0\end{array}\right] \\ \stackrel{-R_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{cc}2& 1-i\\ 0& 0\end{array}\right]=B \\ \Rightarrow BX=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2x_1+\left(1-i\right)x_2=0\\ x_2=-\frac{2}{1-i}{x}_1\end{array}\right. \end{gathered}$$

بنابراین $\left(a,\frac{-2a}{1-i}\right)$ دسته جواب‌های معادله‌ی $BX=0$ است.