نشان دهید $M=\left\{x+y\sqrt{2} | x,y\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right\}$، زیرمیدانی از $\mathrm{ℂ}$ است.

مجموعه‌ی $M$ نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است، زیرا

$$\begin{gathered} \left(x_1+y_1\sqrt{2}\right)+\left(x_2+y_2\sqrt{2}\right) \\ =\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)\sqrt{2}\in M \\ \left(x_1+y_1\sqrt{2}\right)·\left(x_2+y_2\sqrt{2}\right) \\ =\left(x_1{x}_2+2y_1{y}_2\right)+\left(x_1{y}_2+y_1{x}_2\right)\sqrt{2}\in M \end{gathered}$$

چون $M$ زیرمجموعه‌ای از اعداد مختلط است، اعمال جمع و ضرب در آن شرکت‌پذیر و جابجایی هستند.

عضو خنثی عمل جمع $0=0+0\sqrt{2}$ است و وارون جمعی هر عضو، قرینه‌ی آن عضو است.

عضو خنثی عمل ضرب $1=1+0\sqrt{2}$ است و وارون ضربی هر عضو غیرصفر مانند $x+y\sqrt{2}$ به صورت زیر است

$$\begin{gathered} {\left(x+y\sqrt{2}\right)}^{-1}=\frac{1}{x+y\sqrt{2}} \\ =\frac{x}{x^2-2y^2}+\frac{-y}{x^2-2y^2}\sqrt{2} \end{gathered}$$