مجموعه $A=\left\{a,b,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$ را به چند طریق می‌توان به 3 زیرمجموعه افراز کرد؟

با توجه به شکل افراز که به صورت $\boxed{·}\boxed{·}\boxed{··}$ است، می‌توان از رابطه‌ی ترکیب(انتخاب) برای به دست آوردن تعداد افرازها استفاده کرد. بنابراین داریم

$\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)}{2!}=6$

$A=\left\{a,b,\underset{x}{\underbrace{\left\{a\right\}}},\underset{y}{\underbrace{\left\{a,b\right\}}}\right\}$

برای اینکه یک مجموعه‌ی 4 عضوی را به 3 زیرمجموعه افراز کنیم، تنها می‌توان آن‌ها را به صورت یک مجموعه‌ی 2 عضوی و دو مجموعه‌ی تک عضوی نوشت. پس با توجه به مجموعه‌ی فوق یک نامگذاری ساده انجام می‌دهیم و داریم

$\boxed{·}\boxed{·}\boxed{··}$

$=\frac{4!}{1!1!2!}\times \frac{1}{2!}=\frac{24}{4}=6$تعداد افرازها