مجانب‌های هذلولی به معادله‌ی $\frac{1}{4}{x}^2-y^2+ax+by=1$ در نقطه‌ی $\left(-2,1\right)$ متقاطع‌اند. عرض از مبدا خط مجانب آن با شیب مثبت، کدام است؟

شیب مجانب‌های هذلولی به معادله‌ی $A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ ریشه‌های معادله‌ی $B{m}^2+A=0$ هستند. پس شیب مجانب‌های این هذلولی ریشه‌های معادله‌ی $\frac{1}{4}-m^2=0$ هستند. یعنی شیب مثبت موردنظر $m=\frac{1}{2}$ است. از طرف دیگر می‌دانیم که مجانب‌ها از نقطه‌ی $\left(-2,1\right)$ می‌گذرند، پس معادله‌ی مجانب موردنظر برابر است با

$y-1=\frac{1}{2}\left(x+2\right)$

برای محاسبه‌ی عرض از مبدا آن داریم

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow y-1=\frac{1}{2}\left(0+2\right) \\ \Rightarrow y=2 \end{gathered}$$

اگر معادله‌ی هذلولی را به شکل $F\left(x,y\right)=0$ فرض کنیم، مختصات مرکز (که همان محل تلاقی مجانب‌هاست) ریشه‌های معادلات $F_x^{\text{'}}=0$ و $F_y^{\text{'}}=0$ ستند

$$\begin{gathered} F_x^{\text{'}}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2}x+a=0 \\ \Rightarrow x=-2a \\ \Rightarrow -2=-2a \\ \Rightarrow a=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} F_y^{\text{'}}=0 \\ \Rightarrow -2y+b=0 \\ \Rightarrow y=\frac{b}{2} \\ \Rightarrow 1=\frac{b}{2} \\ \Rightarrow b=2 \end{gathered}$$

پس معادله‌ی هذلولی موردنظر به شکل $\frac{1}{4}{x}^2-y^2+x+2y=1$ است.

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}{x}^2-y^2+x+2y=1 \\ \Rightarrow \frac{1}{4}\left(x^2+4x+4\right)-\left(y^2-2y+1\right)=1 \\ \Rightarrow \frac{{\left(x+2\right)}^2}{4}-\frac{{\left(y-1\right)}^2}{1}=1 \end{gathered}$$

مجانب‌های این هذلولی خطوط به معادلات $\frac{x+2}{2}\pm \frac{y-1}{1}=0$ هستند.

$$\begin{gathered} L:\frac{x+2}{2}+\frac{y-1}{1}=0 \\ \Rightarrow x+2y=0 \end{gathered}$$

($=-\frac{1}{2}$شیب)

$$\begin{gathered} L^{\text{'}}:\frac{x+2}{2}-\frac{y-1}{1}=0 \\ \Rightarrow x-2y+4=0 \end{gathered}$$

($=\frac{1}{2}$شیب)

برای محاسبه‌ی عرض‌ازمبدا خط $L^{\text{'}}$ داریم

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow -2y+4=0 \\ \Rightarrow y=2 \end{gathered}$$