به ازای کدام مقدار $a$ دو دایره به معادلات $x^2+y^2+4x=0$ و $x^2+y^2-2x+8y+a=0$، مماس خارج یکدیگرند؟

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله‌ی $x(5x+3)=2$ باشند، به ازای کدام مقدار $k$ مجموعه جواب‌های معادله‌ی $4x^2-kx+25=0$ به صورت $\left\{\frac{1}{{\alpha }^2},\frac{1}{{\beta }^2}\right\}$ است؟

مجموع سری $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{8^k-5^{k+1}}{{10}^k}$ را بیابید.

اگر $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ باشد، ضابطه‌ی تابع $f^{-1}\left(\sin x\right)$ را بیابید.

از نقطه‌ی $A\left(0,\alpha \right)$ دو خط مماس عمود بر هم بر منحنی به معادله‌ی $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$ رسم شده است. $\alpha$ را بیابید.

اگر $f\left(x\right)=\frac{x+11}{x^2-3x-4}$ و $g\left(x\right)=\frac{3}{x-4}$، نقطه‌ی تلاقی مجانب‌های نمودار تابع $f-g$ را بیابید.