فرض کنید $F: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $G: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $H: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ تبدیلات خطی با ضابطه‌‌های داده‌شده باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از $\text{Hom}({\mathrm{ℝ}}^3,{\mathrm{ℝ}}^2)$، مستقل خطی هستند.

فرض کنیم به ازای اسکالرهایی مانند $a,b,c$ داشته باشیم:

$aF+bG+cH = 0$

دقت کنیم که در اینجا منظور از 0، تابع صفر است. با توجه به رابطه‌ی بالا اگر تابع سمت چپ را روی عضو $(1,0,0)$ اثر دهیم داریم:

$$\begin{gathered} (aF+bG+cH)(1,0,0) = \\ a(1,1) + b(2,1) + c(0,1) = \\ (a+2b,a+b+c) = \\ = (0,0) \end{gathered}$$

این یک عضو برای بدست آوردن مجهولات کافی نیست پس عضو دیگری مثل $(0,1,0)$ را نیز محاسبه می‌کنیم:

$$\begin{gathered} (aF+bG+cH)(0,1,0) = \\ a(1,1) + b(0,1) + c(2,0) = \\ (a+2c,a+b) = \\ = (0,0) \end{gathered}$$

پس $a = -b$ و $a = -2c$. با قرار دادن در معادله‌ی قبلی خواهیم داشت:

$a = b = c = 0$

در نتیجه این 3 عضو، مستقل خطی هستند.