0 مخالف

فرض کنید F: 32 و G: 32 و H: 32 تبدیلات خطی با ضابطه‌‌های داده‌شده باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از Hom(3,2)، مستقل خطی هستند.

<p>فرض کنید <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>:</mo><mo>&#160;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>3</mn></msup><mo>&#8594;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>2</mn></msup></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>G</mi><mo>:</mo><mo>&#160;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>3</mn></msup><mo>&#8594;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>2</mn></msup></math> و <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi><mo>:</mo><mo>&#160;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>3</mn></msup><mo>&#8594;</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>2</mn></msup></math> تبدیلات خطی با ضابطه&zwnj;&zwnj;های داده&zwnj;شده باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtext>Hom</mtext><mo>(</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>3</mn></msup><mo>,</mo><msup><mi mathvariant="normal">&#8477;</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></math>، مستقل خطی هستند.</p>

فرض کنید F: 32 و G: 32 و H: 32 تبدیلات خطی با ضابطه‌‌های 

F(x,y,z) = (x+y+z,x+y)

G(x,y,z) = (2x+z,x+y)

H(x,y,z) = (2y,x)

باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از Hom(3,2)، مستقل خطی هستند.

# ریاضیات # جبر خطی
پاسخ‌ها

فرض کنیم به ازای اسکالرهایی مانند a,b,c داشته باشیم:

aF+bG+cH = 0

دقت کنیم که در اینجا منظور از 0، تابع صفر است. با توجه به رابطه‌ی بالا اگر تابع سمت چپ را روی عضو (1,0,0) اثر دهیم داریم:

(aF+bG+cH)(1,0,0) = a(1,1) + b(2,1) + c(0,1) =(a+2b,a+b+c) == (0,0)

این یک عضو برای بدست آوردن مجهولات کافی نیست پس عضو دیگری مثل (0,1,0) را نیز محاسبه می‌کنیم:

(aF+bG+cH)(0,1,0) = a(1,1) + b(0,1) + c(2,0) =(a+2c,a+b) == (0,0)

پس a = -b و a = -2c. با قرار دادن در معادله‌ی قبلی خواهیم داشت:

a = b = c = 0

در نتیجه این 3 عضو، مستقل خطی هستند.

 

0 مخالف
پیش نمایش پاسخ