اعداد اول و توان‌های عدد 2

بیایید به مجموع چند توان نخست عدد $2$ نگاهی بیندازیم.

 

$$\begin{gathered} 1 + 2 = 3 \\ 1 + 2 + 4 = 7 \\ 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \\ 1 + 2 + 4 + 8 +16 = 31 \\ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 \\ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 \end{gathered}$$

 

جالب اینجاست که تعداد قابل توجهی از مقادیر فوق، اول هستند و این اصلا اتفاقى نیست. با ادامه دادن روند بالا، اعداد اول دیگری نیز به دست می‌آوریم. در حقیقت این اعداد اول بسیار معروف هستند و نامی هم برای آنها گذاشته‌اند: اعداد اول مرسن (Mersenne Primes).

جدا از مجموع توان‌های عدد 2، این اعداد اول معمولاً به صورت توانی از عدد 2، منهای یک، قابل نمایش هستند. این امر تعجب‌آور نیست، زیرا مجموع $n$ توان اول عدد $2$ برابر است با $2^{\left(n+1\right)}-1$، بنابراین در اصل همان حالت قبلی است.

با نگاهی دقیق‌تر به این اعداد اول، می‌توان دریافت که آنها فقط به صورت مقادیر اول $m$ در $2^m-1$ ظاهر می‌شوند. توجه داشته باشید که عکس این عبارت صادق نیست، یعنی برای همه‌ی مقادیر اول m لزوما یک عدد اول مرسن نخواهیم داشت.

اعداد کامل

اعداد کامل، اعدادی هستند که نمایشی به صورت مجموع مقسوم‌علیه‌های سره‌ی آنها (بدون احتساب خود اعداد) داشته باشند. به عنوان مثال 6، کوچکترین عدد کامل است.

$6=1+2+3$

در رابطه با اعداد اول مرسن، اقلیدس نشان داد که برای هر عدد اول، عدد کامل متناظری وجود دارد. به عبارت دیگر:

برای هر عدد اول مرسن مانند $2^n-1$، یک عدد زوج کامل $2^{n-1}\left(2^n-1\right)$ وجود دارد.

 

قضیه اقلیدس-اویلر

قضیه اقلیدس-اویلر بیانگر رابطه‌ی دوطرفه‌ی بین اعداد اول مرسن و اعداد کامل است. در این مقاله، ما فقط نشان خواهیم داد که برای هر عدد اول مرسن، عدد کاملی وجود دارد.

در ابتدا می‌توانیم به یک مثال خاص نگاهی بیندازیم و از روی آن قانون کلی را حدس بزنیم و تعمیم دهیم. عدد اول مرسن $31$ را در نظر بگیریم، عدد کامل وابسته به این عدد، عدد $496$ است. مقسوم‌علیه‌های سره‌ی عدد $496$ به صورت زیر است.

$496 => 248, 124, 62, 31, 16, 8, 4, 2, 1$

در واقع، می‌توان فهمید که بخشی از این مقسوم‌علیه‌ها شامل خود عدد اول مرسن (در اینجا $31$) است و همچنین تمام توان‌های عدد $2$ که کمتر از خود عدد اول مورد نظر هستند.

$248, 124, 62, \mathbf{31}, 16, 8, 4, 2, 1$

علاوه بر این‌ها، مقسوم‌علیه‌هایی که در سمت چپ عدد اول مرسن ظاهر می‌شوند، در واقع ضرب آن عدد در توان‌های عدد $2$ هستند. البته مواردی که خود عدد کامل ($31\times 16=496$) و یا خود عدد اول مرسن ($31\times 1=31$) را می‌دهد، از این قاعده مستثنی هستند.

$248 = \mathbf{31}\times 8, 124 = \mathbf{31}\mathbf{\times }4, 62 = \mathbf{31}\mathbf{\times }2, 31, 16, 8, 4, 2, 1$

بنابراین می توانیم بگوییم که یک عدد کامل دارای سه دسته عامل است.

• خود عدد اول مرسن
• توان‌هایی از عدد $2$ که کمتر از عدد اول مرسن مورد نظر باشد
• ضرب‌های دو مورد قبلی در یکدیگر

 

تعمیم

هر عدد کامل را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.

 

$2^{n-1}\left(2^n-1\right)$

ما می‌توانیم به راحتی مجموع این سه دسته را به دست آوریم:

 

• خود عدد اول مرسن $2^n-1$
  
  
• توان‌هایی از عدد $2$ که کمتر از عدد مرسن مورد نظر باشد
  
  (مجموع یک دنباله‌ی هندسی) $1+2+\dots +2^{\left(n-2\right)}=2^{\left(n-1\right)}-2$
  
  
• ضرب‌های دو مورد قبلی در یکدیگر $\left(2^n-1\right)\left(2^{\left(n-1\right)}-2\right)$

 

اکنون تنها کاری که باید انجام دهیم این است که جمع هر سه مقدار فوق را محاسبه کنیم و نشان دهیم که در واقع برابر با عدد کاملی است که با آن شروع کردیم.

 

$$\begin{gathered} \left(2^n-1\right)\left(2^{n-1}-2\right)+\left(2^n-1\right)+\left(2^{n-1}-1\right) \\ =\left(2^n-1\right)\left(2^{n-1}-2\right)+2\left(2^n-1\right)-1 \\ =\left(2^n-1\right)\left(2^{n-1}-2\right)+2^n-1 \\ =\left(2^n-1\right)\left(2^{n-1}-2+1\right) \\ \boxed{=\left(2^n-1\right)\left(2^{n-1}-1\right)} \end{gathered}$$

 

همانطور که ملاحظه می‌کنید، به عبارت اولیه رسیدیم. این عبارت همچنین با مجموع فاکتورهایش برابر است، که در واقع آن را به یک عدد کامل تبدیل می‌کند. در اصل ما این گزاره را ثابت کردیم که برای هر عدد اول مرسن، عدد کاملی وجود دارد که در واقع همان عدد اول مرسن ضربدر توانی از عدد $2$ است.

# ریاضیات # اعداد اول # اعداد اول مرسن # Mersenne Primes