مسئله باز میلیون دلاری

در کنار مشهورترین مسائل هزاره، مسائل ریاضی دیگری نیز وجود دارد که می‌تواند یک میلیون دلار برای شما درآمد داشته باشد. این مقاله حدس بیل، چگونگی ارتباط آن با قضیه آخر فرما و اینکه چه پیشرفت‌هایی تاکنون حاصل شده است، را بررسی می‌کند.

در سال 1993، اندرو بیل، یک بانک‌دار و ریاضی‌دان غیر حرفه‌ای حدس زیر را فرموله کرد:

حدس بیل: اگر $A^x+B^y=C^z$ به طوری که $A,B,C,x,y,z$ اعداد صحیح نامنفی باشند و $x,y,z\ge 3$، آنگاه $A,B,C$ یک مولفه‌ی اول مشترک دارند.

بیایید چند مثال را مرور کنیم تا عبارت بالا را بهتر درک کنیم.

• فرض کنیم $A,B,C=2$ و $x,y=3$ و $z=4$، داریم $2^3+2^3=2^4$ و چون $A,B,C=2$ پس آنها یک مولفه‌ی اول مشترک دارند که عدد $2$ است.

حال یک مثال پیچیده‌تر را بررسی می‌کنیم.

• فرض کنیم $A,B=7$ و $C=14$ و $x,z=3$ و $y=4$، داریم $7^3+7^4={14}^3$
  مولفه‌های اول $A$: $7$
  مولفه‌های اول $B$: $7$
  مولفه‌های اول $C$: $2,7$
  $7$ مولفه‌ی اول مشترک برای $A,B,C$ است.

 

قضیه آخر فرما

حدود سال 1637 فرما حدس زد که هیچ اعداد صحیحی مانند $a,b,c$ وجود ندارند که برای $n>3$ در معادله‌ی $a^n+b^n=c^n$ صدق کنند.

این حدس تا کمتر از 30 سال پیش یک مسئله باز در ریاضیات بود، در واقع یکی از مشهورترین مسائل تاریخ ریاضیات بود.
این مسئله قبل از اثبات توسط اندرو وایلز در سال 1994، در کتاب رکوردهای جهانی گینس به عنوان "دشوارترین مسئله ریاضی" ثبت شده بود.

در مورد قضیه آخر فرما مطالب جالب دیگری وجود دارد که در مقاله‌های دیگری به آنها می‌پردازیم.

استفاده از قضیه آخر فرما در مورد حدس بیل به ما کمک می‌کند تا نشان دهیم برای حالتی که x = y = z اصلاً جوابی به صورت عدد صحیح وجود ندارد (نتیجه‌گیری از قضیه آخر فرما)، بنابراین می‌توان گفت وقتی چنین جوابی وجود ندارد، پس جوابی هم در تناقض با حدس بیل وجود ندارد، به این معنی که حدس برای حالت فوق درست است.

 

پیشرفت‌های حل این مسئله

اگرچه حدس بیل کاملاً جدید است، به ویژه در مقایسه با قضیه آخر فرما، نتایج جزئی زیادی در مورد آن وجود داشته است و آخرین پیشرفت قابل توجه در سال 2014 بوده است.

یکی از برجسته‌ترین نتایج جزئی به صورت زیر است:

همه‌ی حالت‌هایی که $\left(x,y,z\right)$ به فرم $\left(2,3,n\right)$ و یا $\left(2,n,3\right)$ هستند، چنین جوابی دارند: $2^3+1^n=3^2$

از مورد فوق به عنوان جواب کاتالان یاد می‌شود و سایر جواب‌ها به آن وایسته هستند.
به عنوان مثال، در سال 2003، نیلز بروین ثابت کرده است که حالت $\left(x,y,z\right)=\left(2,3,8\right)$ فقط یک جواب غیرکاتالانی دارد و این جواب با حدس بیل تناقضی ندارد.
در سال 2014، بنت، چن، داهمن و یزدانی ثابت کردند که هر دو حالت $\left(x,y,z\right)=\left(3,6,n\right)$ که $n>2$ و $\left(x,y,z\right)=\left(4,2n,3\right)$ که $n>1$ با حدس بیل مطابقت دارند.

 

یادداشت نهایی

هم اکنون جایزه‌ی اثبات این مسئله یا ارائه‌ی مثال نقض آن، معادل 1,000,000 دلار است.
دو اثبات ارائه شده‌اند که هنوز پذیرفته نشده‌اند. Nicholas J. Daras اثبات خود را در مارس 2019 و Leandro Torres Di Gregorio اثبات خود را در سپتامبر 2013 ارائه داد.
اطلاعات بیشتر در مورد جایزه را می‌توانید در سایت انجمن ریاضی آمریکا بیابید.

# ریاضیات # مسئله باز # قضیه آخر فرما # حدس بیل # مسائل هزاره # ریاضی‌دان