# کنکور سراسری رشته ریاضی سال 1390

وزنه‌ای را از انتهای فنر سبکی آویزان می‌کنیم. در حالت تعادل، طول فنر $10 cm$ افزایش یافته است. وزنه را از این وضعیت کمی پایین کشیده و رها می‌کنیم. دوره‌ی نوسان چند ثانیه است؟

اگر $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند، به طوری که $P\left(A\right)=0.2$ و $P\left(B\right)=0.22$ و $P\left(B|A\right)=0.7$، آنگاه $P\left(B^{\text{'}}|A^{\text{'}}\right)$ کدام است؟

تعداد اعداد طبیعی دو رقمی که نسبت به 105 اول باشند، کدام است؟

اگر $357x+629y=\left(357,429\right)$، آنگاه کوچکترین عدد مثبت $x+y$ کدام است؟

عدد $\left(75\right)!$، مختوم به چند صفر است؟

یک عدد طبیعی فرد و مربع کامل، با بیشترین مقدار ممکن، به صورت ${\left(abc\right)}_8$ نوشته می‌شود. $a+c$ کدام است؟

مجموعه $A=\left\{a,b,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$ را به چند طریق می‌توان به 3 زیرمجموعه افراز کرد؟

مجموعه‌ی S دارای 50 عضو از اعداد طبیعی است. در تقسیم عضوهای S بر 12، حداقل چند عضو، باقی‌مانده‌ی یکسان دارند؟

دو مول گاز کامل تک اتمی به حجم $1.75$ متر مکعب را در فشار ثابت منبسط کرده‌ایم. اگر دمای اولیه‌ی گاز $350$ کلوین باشد و در این فرایند ${10}^4$ ژول گرما مبادله شده باشد، دمای ثانویه چند کلوین و حجم ثانویه چند متر مکعب است؟

مخزنی به حجم $5$ لیتر حاوی گاز اکسیژن در فشار ${10}^5 Pa$ و دمای ${27}^{°} C$ است. جرم گاز موجود در مخزن چند گرم است؟

در نمودار جعبه‌ای 36 داده‌ی آماری، میانگین داده‌های دو طرف جعبه جداگانه به ترتیب 22 و 30 است. اگر میانگین تمام داده‌ها 27.5 باشد، آنگاه میانگین داده‌های داخل جعبه کدام است؟

هشتاد داده آماری در $7$ طبقه دسته‌بندی شده‌اند. اگر $20$ داده‌ی جدید به این جدول افزوده شود، فراوانی نسبی دسته‌ی وسط تغییر نمی‌کند. نسبت افزایش داده‌های دسته‌ی مذکور به فراوانی مطلق قبلی آن کدام است؟

مجانب‌های هذلولی به معادله‌ی $\frac{1}{4}{x}^2-y^2+ax+by=1$ در نقطه‌ی $\left(-2,1\right)$ متقاطع‌اند. عرض از مبدا خط مجانب آن با شیب مثبت، کدام است؟

به ازای کدام مقدار $a$ دو دایره به معادلات $x^2+y^2+4x=0$ و $x^2+y^2-2x+8y+a=0$، مماس خارج یکدیگرند؟

صفحه گذرا بر محور $y$ها و نقطه‌ی $\left(2,3,-1\right)$، با کدام بردار موازی است؟

اگر $f\left(x\right)=-x+\left[x\right]$ و $g\left(x\right)=2^x$، آنگاه برد تابع $gof$ کدام است؟

اگر $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 2& 1& 3\end{array}\right]$ درایه‌ی واقع در سطر اول و ستون دوم ماتریس $A^{-1}$ کدام است؟

ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2& 5& 4\\ -3& 6& -1\end{array}\right]$ به صورت مجموع یک ماتریس متقارن و یک ماتریس پادمتقارن نوشته شده است، دترمینان ماتریس متقارن کدام است؟

در یک تصاعد عددی مجموع بیست جمله‌ی اول سه برابر مجموع دوازده جمله‌ی اول آن است. اگر جمله‌ی سوم برابر 6 باشد، جمله‌ی دهم کدام است؟

اگر لگاریتم عدد $2\sqrt[3]{0.25}$ در مبنای $8$ برابر $A$ باشد، آنگاه لگاریتم عدد $\left(\frac{1}{A}-1\right)$ در پایه‌ی $4$ کدام است؟

اگر $a$ و $b$ و $c$ سه بردار غیرصفر باشند، خلاصه شده‌ی $\left(2a-b\right)·\left(\left(b+c\right)\times \left(c-a\right)\right)$ کدام است؟

از $500$ گرم آب صفر درجه‌ی سلسیوس، در فشار یک اتمسفر، $100.8 KJ$ گرما می‌گیریم. اگر دمای نهان ذوب یخ $336 \frac{KJ}{kg}$ باشد، چند درصد آب، منجمد می‌شود؟

مجموعه طول نقاط که تقعّر منحنی به معادله‌ی $y=\frac{-2}{x^2+3}$، رو به بالا باشد، به کدام صورت است؟

حد عبارت $\frac{\left|x^2-x-2\right|}{2x-\sqrt{x^2+12}}$ وقتی $x\to 2^{-}$ را بیابید.

جواب کلی معادله‌ی مثلثاتی $\frac{\cos \left(5x\right)\cos \left(3x\right)-\sin \left(3x\right)\sin \left(x\right)}{\cos \left(2x\right)}=1$ را بیابید.

اگر مماس چپ و مماس راست تابع $f\left(x\right)=\left|x\right|\left(x+a\right)$ در نقطه‌ی زاویه‌دار آن عمود بر هم باشند، مجموعه‌ی مقادیر $a$ را بیابید.

دنباله‌ی $\left\{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right\}$، چگونه است؟

اگر $f\left(x\right)=\frac{x+11}{x^2-3x-4}$ و $g\left(x\right)=\frac{3}{x-4}$، نقطه‌ی تلاقی مجانب‌های نمودار تابع $f-g$ را بیابید.

از نقطه‌ی $A\left(0,\alpha \right)$ دو خط مماس عمود بر هم بر منحنی به معادله‌ی $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$ رسم شده است. $\alpha$ را بیابید.

اگر $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ باشد، ضابطه‌ی تابع $f^{-1}\left(\sin x\right)$ را بیابید.

مجموع سری $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{8^k-5^{k+1}}{{10}^k}$ را بیابید.

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله‌ی $x(5x+3)=2$ باشند، به ازای کدام مقدار $k$ مجموعه جواب‌های معادله‌ی $4x^2-kx+25=0$ به صورت $\left\{\frac{1}{{\alpha }^2},\frac{1}{{\beta }^2}\right\}$ است؟