# مبانی جبر

نشان دهید هر زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ در گروه از مرتبه $p^{(n)}$ یک زیرگروه نرمال است.

نشان دهید که اگر $H$ و $K$ زیرگروه‌های گروه $G$ باشند، آنگاه $H \cap K$ نیز زیرگروه $G$ است.

نشان دهید اگر در حلقه‌ی $R$ عناصر $a$ و $b$ و $a+b$ خودتوان باشند، آنگاه $ab$ نیز خودتوان است.

اگر $Q_8$ گروه کواترنیون‌های هشت عضوی باشد و $S_3$ گروه جایگشت‌های روی سه حرف، آنگاه گروه $Q_8 \times S_3$ چند عنصر مرتبه‌ی 12 دارد؟