# جبر پیشرفته

نشان دهید

${\text{Hom}}_{\mathrm{\mathbb{Z}}}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6, \mathrm{\mathbb{Q}}\oplus {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$

فرض کنید $M$ یک $R$-مدول ساده باشد. نشان دهید تعداد زیر مدول‌های $M\oplus M$، می‌تواند نامتناهی باشد.

فرض کنیم $M$ و $N$ دو $R$-مدول باشند و $\phi :M\to N$ یک $R$-همریختی پوشا. اگر $K و L$، زیرمدول‌هایی از $M$ باشند با این ویژگی که $M = K+L$ و $K \cap L = Ker\left(\phi \right)$. ثابت کنید $N = \phi \left(K\right) \oplus \phi \left(L\right)$.

فرض کنیم $M$ یک $R$-مدول باشد و $\phi :M\to M$ یک $R$-همریختی. اگر ${\phi }^2 = \phi$، ثابت کنید $M = \text{Ker}\left(\phi \right) \oplus \text{Im}\left(\phi \right)$.

$R$-مدولی متناهی-مولد مثال بزنید که به عنوان گروه آبلی، متناهی-مولد نباشد.

فرض کنید $M$، $R$-مدولی غیرصفر باشد. $N$ زیرمدول سره‌ای از $M$ و $x \in M\backslash N$. ثابت کنید مجموعه‌ی $\Gamma = \left\{K \le M | N\subset K, x \notin K\right\}$ عضوی ماکسیمال دارد.

فرض کنیم $L$ یک $R$-مدول باشد و $M$ و $N$ زیرمدول‌هایی از $L$. اگر $M+N$ و $M \cap N$  متناهی-مولد باشند. نشان دهید $M$ و $N$ نیز متناهی-مولد هستند.

$J\left(R\right[x\left]\right)$ را با فرض این که $R$ یک حوزه صحیح باشد، محاسبه کنید.

نشان دهید :

$\frac{R}{I}\otimes \frac{R}{J}\underset{R}{\cong }\frac{R}{(I+J)}$

نشان دهید هر مدول پروژکتیو متناهی-مولد روی یک حلقه‌ی جابجایی موضعی، آزاد است.

آیا $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{\mathbb{Z}}$}\right.$ پروژکتیو است؟

آزاد بودن $\mathbb{Z}_{n}$ به عنوان گروه آبلی

با چه شرایطی روی حلقه‌ی $R$ می‌توانیم مدولی داشته باشیم که به عنوان $R$-مدول هم پروژکتیو باشد هم انژکتیو.

هر $R$-مدول انژکتیو $\Longleftrightarrow$ هر $R$-مدول پروژکتیو

آیا $\mathbb{Q}$ به عنوان $\mathbb{Z}$-مدول، آزاد است؟

$R$ حلقه‌ی جابجایی و یکدار و $I$ یک ایده‌آل آن که $\dfrac{R}{I}$ یک $R$-مدول تصویری است