# ریاضیات گسسته

تقسیم 200 توپ در 100 جعبه

تعداد حالات ممکن برای نشستن $n$ بچه روی $n$ صندلی به شرطی که فاصله آنها حداکثر یک صندلی باشد

باقیمانده عدد $2^{31}+3^{31}+4^{31}$ بر هفت چیست؟

با ارقام 3,3,3,3,0,0,0,0 چند عدد زوج هشت رقمی می‌توان ساخت؟

دانشجویی هر روز بعد از کلاس درس به یکی از سه نوع بازی کامپیوتری می‌پردازد. به چند طریق می‌تواند هر روز بازی کند به طوری که در طول یک هفته‌ی تحصیلی هر یک از سه نوع بازی را حداقل یک بار انجام دهد؟

فرض کنید $f,g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$، $f\left(n\right)=n$ و $g\left(n\right)={\log }_2\left(n\right)$ برای $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$. نشان دهید که $g\in O\left(f\right)$ ولی $f\notin O\left(g\right)$.

اگر $g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ و $c\in \mathrm{ℝ}$، تابع $cg:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ را بوسیله‌ی $\left(cg\right)\left(n\right)=c\left(g\left(n\right)\right)$، برای هر $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$ تعریف می‌کنیم. ثابت کنید که اگر $f,g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ با $f\in O\left(g\right)$، آنگاه $f\in O\left(cg\right)$ به ازای $c\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$، $c\ne 0$.

برای هر $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$، $n\ge 0$ ثابت کنید $2^{2n+1}+1$ بر $3$ و $n^3+{\left(n+1\right)}^3+{\left(n+2\right)}^3$ بر $9$ بخش‌پذیر هستند و $\frac{n^7}{7}+\frac{n^3}{3}+\frac{11n}{21}$ عددی صحیح است.

رقم سمت راست عدد ${13}^{15}$ را محاسبه کنید.

تعداد ماتریس‌های با درایه‌ی صفر و یک مانند $M$ از مرتبه‌ی $5\times 5$ که در آن‌ها $M^T=M$ چقدر است؟

رقم یکان عدد $1^{1399}+2^{1399}+...+9^{1399}$ کدام است؟

$n$ اتومبیل در یک مسیر دایره‌ای وجود دارند. تمام آنها با هم مجموعاً به اندازه‌ای سوخت دارند که یک اتومبیل با آن بتواند مسیر را به طور کلی طی کند. نشان دهید اتومبیلی وجود دارد که می‌تواند تمام مسیر را یک بار طی کند در صورتی که از اتومبیل‌های دیگر سوخت بگیرد.

شطرنج خدایان

یک ردیف از $n$ صندلی داریم به طوری که روی هر کدام یک بچه نشسته است. هر بچه می‌تواند تا حداکثر یک صندلی تغییر مکان بدهد. تعداد آرایش‌های ممکن را بیابید.

فرض کنیم $2n$ نقطه در فضا داریم و در مجموع $n^2+1$ پاره‌خط بین آنها رسم شده است. نشان دهید حداقل یک مجموعه از سه نقطه وجود دارد که دو به دو به وسیله‌ی پاره‌خط‌هایی به هم وصل شده‌اند.

فرض کنیم $S$ مجموعه‌ای متشکل از 25 نقطه در صفحه باشد به طوری که از هر سه نقطه‌ی آن حداقل 2 تا با فاصله‌ی کمتر از یک از هم قرار داشته باشند.
نشان دهید 13 نقطه از $S$ وجود دارند به طوری که می‌توان آنها را با یک دیسک (دایره‌ی توپر) به شعاع یک پوشاند.

ثابت کنید در بین هر 5 عدد طبیعی، همواره حاصل‌جمع سه تا از آنها بر 3 بخش‌پذیر است.

 $n$ نفر در یک اتاق حضور دارند. ثابت کنید که در بین آنها حتما دو نفر پیدا می‌شوند که تعداد دوستانشان در این اتاق با هم برابر باشد.

تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از 1001، که بر 3 یا 4 بخش‌پذیر هستند، اما بر 5 بخش‌پذیر نیستند را بیابید.

فرض کنید $p$ و $p+2$ هر دو عدد اول و بزرگتر از 3 باشند. ثابت کنید $2p+2$ بر 12 بخش‌پذیر است.

تعداد اعداد طبیعی دو رقمی که نسبت به 105 اول باشند، کدام است؟

اگر $357x+629y=\left(357,429\right)$، آنگاه کوچکترین عدد مثبت $x+y$ کدام است؟

عدد $\left(75\right)!$، مختوم به چند صفر است؟

یک عدد طبیعی فرد و مربع کامل، با بیشترین مقدار ممکن، به صورت ${\left(abc\right)}_8$ نوشته می‌شود. $a+c$ کدام است؟

مجموعه $A=\left\{a,b,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$ را به چند طریق می‌توان به 3 زیرمجموعه افراز کرد؟

مجموعه‌ی S دارای 50 عضو از اعداد طبیعی است. در تقسیم عضوهای S بر 12، حداقل چند عضو، باقی‌مانده‌ی یکسان دارند؟

تعداد جواب‌های طبیعی معادله‌ی $x+y+z+t+k = 30$، با شرط این که هر کدام بزرگتر از $5$ باشند.

باقی‌مانده‌ی عدد $2^{31} + 3^{31} + 4^{31}$ بر $7$

با فرض $5x+4y = 3$، مقدار $x-y$ چیست؟

مجموع مقسوم‌علیه‌های مثبت عدد 72

تعداد مقسوم‌علیه‌های مشترک  $3^4 \times 5^2 \times 7^6$ و $2^3 \times 5^3 \times 7^4 \times 13$

خارج کردن $4$ مهره به صورت تصادفی و یکجا از داخل جعبه‌ای حاوی $5$ مهره‌ی قرمز و $3$ مهره‌ی سبز

جواب معادله‌ی $x^{5} + 8x \equiv^{5} 1$

$gcd(n,n+1) = 1$

قرار گرفتن $7$ مسافر در یک اتاق سه تخته و دو اتاق دو تخته

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

اول مهرماه و 22 بهمن سالی که با سه‌شنبه آغاز می‌شود