# جبر و احتمال

تقسیم 200 توپ در 100 جعبه

تعداد حالات ممکن برای نشستن $n$ بچه روی $n$ صندلی به شرطی که فاصله آنها حداکثر یک صندلی باشد

$n$ اتومبیل در یک مسیر دایره‌ای وجود دارند. تمام آنها با هم مجموعاً به اندازه‌ای سوخت دارند که یک اتومبیل با آن بتواند مسیر را به طور کلی طی کند. نشان دهید اتومبیلی وجود دارد که می‌تواند تمام مسیر را یک بار طی کند در صورتی که از اتومبیل‌های دیگر سوخت بگیرد.

شطرنج خدایان

یک ردیف از $n$ صندلی داریم به طوری که روی هر کدام یک بچه نشسته است. هر بچه می‌تواند تا حداکثر یک صندلی تغییر مکان بدهد. تعداد آرایش‌های ممکن را بیابید.

فرض کنیم $S$ مجموعه‌ای متشکل از 25 نقطه در صفحه باشد به طوری که از هر سه نقطه‌ی آن حداقل 2 تا با فاصله‌ی کمتر از یک از هم قرار داشته باشند.
نشان دهید 13 نقطه از $S$ وجود دارند به طوری که می‌توان آنها را با یک دیسک (دایره‌ی توپر) به شعاع یک پوشاند.

ثابت کنید در بین هر 5 عدد طبیعی، همواره حاصل‌جمع سه تا از آنها بر 3 بخش‌پذیر است.

 $n$ نفر در یک اتاق حضور دارند. ثابت کنید که در بین آنها حتما دو نفر پیدا می‌شوند که تعداد دوستانشان در این اتاق با هم برابر باشد.

تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از 1001، که بر 3 یا 4 بخش‌پذیر هستند، اما بر 5 بخش‌پذیر نیستند را بیابید.

اگر ماتریس $A$ به طور تصادفی از مجموعه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ با درایه‌های صحیح انتخاب شود، آنگاه با چه احتمالی دترمینان $A$ عددی زوج است؟

اگر $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند، به طوری که $P\left(A\right)=0.2$ و $P\left(B\right)=0.22$ و $P\left(B|A\right)=0.7$، آنگاه $P\left(B^{\text{'}}|A^{\text{'}}\right)$ کدام است؟

مجموعه‌ی S دارای 50 عضو از اعداد طبیعی است. در تقسیم عضوهای S بر 12، حداقل چند عضو، باقی‌مانده‌ی یکسان دارند؟

تعداد مقسوم‌علیه‌های مشترک  $3^4 \times 5^2 \times 7^6$ و $2^3 \times 5^3 \times 7^4 \times 13$

خارج کردن $4$ مهره به صورت تصادفی و یکجا از داخل جعبه‌ای حاوی $5$ مهره‌ی قرمز و $3$ مهره‌ی سبز

$gcd(n,n+1) = 1$

قرار گرفتن $7$ مسافر در یک اتاق سه تخته و دو اتاق دو تخته

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

نشستن $5$ دانش‌آموز دور یک میز گرد

کنار هم قرار دادن $4$ مداد، $5$ خودکار و $7$ خودنویس به طوری که مدادها، خودکارها و خودنویس‌ها کنار هم باشند

کنار هم نشستن چهار دانش‌آموز که دو نفر از آنها برادر هستند، به طوری که دو برادر، کنار هم باشند

نشستن سه سرباز و دو افسر به صورت یک در میان روی یک ردیف صندلی

قرار دادن سه کتاب ریاضی متمایز و سه کتاب فیزیک متمایز به صورت یک در میان، در یک طبقه کتابخانه

کلمه‌ی سه‌حرفی با حروف کلمه‌ی CHAIR که شامل A باشد

کلمه‌ی سه‌حرفی بدون‌تکرار حروف، با حروف کلمه‌ی TRIANGLE

کلمه‌ی شش‌حرفی بدون تکرار حروف با حروف کلمه‌ی flower

عدد چهاررقمی بدون تکرار با رقم‌های $1,0,7,3,4,9$

رقم یکان عدد $(493623)^{4938}$

دسته‌ی هم‌نهشتی عدد $-209$ به پیمانه‌ی $12$

باقی‌مانده‌ی تقسیم $2^{1373}$ بر $k$