# جبر خطی

نشان دهید اگر $A$ ماتریسی وارون‌ناپذیر و $A+adj(A)$ ماتریسی وارون‌پذیر باشد، آنگاه $rank(A)=n-1$.

معادله‌ی خط گذرنده از نقطه‌ی $\left(0,1,2\right)$ و عمود متقاطع بر خط $x + 1 = y - 1 = Z$

اگر ماتریس $A$ به طور تصادفی از مجموعه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ با درایه‌های صحیح انتخاب شود، آنگاه با چه احتمالی دترمینان $A$ عددی زوج است؟

فرض کنید $A$ ماتریسی $\text{2×2}$ بر روی میدان(هیأت) $F$ باشد. نشان دهید که $A$ معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر $\text{det}\left(A\right)\ne 0$. اگر $A$ معکوس‌پذیر باشد، فرمولی برای $A^{-1}$ بدست آورید.

آیا تبدیلی خطی مانند $T$ از ${\mathrm{ℝ}}^3$ به ${\mathrm{ℝ}}^2$ وجود دارد که $T\left(1,-1,1\right)=\left(1,0\right)$ و $T\left(1,1,1\right)=\left(0,1\right)$؟

فرض کنید $V$ فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ $F$ از اعداد مختلط باشد و $\alpha$، $\beta$ و $\gamma$ در $V$ مستقل خطی باشند. ثابت کنید $\left(\alpha +\beta \right)$، $\left(\beta +\gamma \right)$ و $\left(\gamma +\alpha \right)$ دارای استقلال خطی‌اند.

فرض کنیم $V$ فضای برداری همه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ بر روی میدان $F$ باشد. با یافتن پایه‌ای برای $V$ که 4 عنصر داشته باشد، ثابت کنید $V$ چهار بعدی است.

دستگاه معادلات $AX=0$ را که در آن $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$، یک ماتریس $2\times 2$ روی میدان $F$ است، در نظر بگیرید و احکام زیر را ثابت کنید.

همه‌ی جواب‌های دستگاه معادلات $\left\{\begin{array}{l}\left(1-i\right)x_1-i{x}_2=0\\ 2x_1+\left(1-i\right)x_2=0\end{array}\right.$ را بدست آورید.

نشان دهید هر میدان با مشخصه‌ی صفر، شامل نسخه‌ای از میدان اعداد گویا است.

نشان دهید که هر زیرمیدان از میدان اعداد مختلط، شامل همه‌ی اعداد گویا است.

فرض کنید $\mathrm{F}$ مجموعه‌ی متشکل از تنها دو عنصر 0 و 1 باشد. تحقیق کنید که $F$ همراه با دو عمل زیر یک میدان است.

فرض کنید $F$ میدان اعداد مختلط باشد، آیا دو دستگاه معادلات خطی زیر هم‌ارزند؟

نشان دهید $M=\left\{x+y\sqrt{2} | x,y\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right\}$، زیرمیدانی از $\mathrm{ℂ}$ است.

فرض کنید $F: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $G: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $H: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ تبدیلات خطی با ضابطه‌‌های داده‌شده باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از $\text{Hom}({\mathrm{ℝ}}^3,{\mathrm{ℝ}}^2)$، مستقل خطی هستند.

اگر $A$ یک ماتریس وارون‌پذیر $3\times 3$ با درایه‌ها در میدان $\mathrm{ℝ}$ باشد و داشته باشیم $\text{tr} A = \text{tr} A^2=0$ و $\text{det} A=1$، آنگاه $A^3=I$.

نشان دهید مجموعه‌ی تمام بردارهایی از ${\mathrm{ℝ}}^3$ که دارای طول حداکثر 1 باشند، زیرفضای برداری از ${\mathrm{ℝ}}^3$ نیست

نشان دهید مجموعه‌ی $V = \left\{(a,b)|a,b \in \mathrm{ℝ}\right\}$ با جمع و ضرب اسکالر زیر فضای برداری نیست؟

فرض کنیم $A$ ماتریسی حقیقی خودتوان باشد، کدام گزینه صحیح است؟

اگر ماتریس $A$، $m \times n$ و $B$، $n \times m$ باشد و $n < m$، آنگاه $AB$ معکوس‌پذیر نیست

حاصلضرب دو ماتریس خودتوان، خودتوان است؟

اگر $A$ خودتوان باشد، $I-A$ خودتوان است

اگر $A \in M_{n \times n}(F)$ و $AA^t=0$، می‌توان نتیجه گرفت $A=0$؟

اگر $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$، آنگاه $A=0 \iff AA^t=0$