# جبر

نشان دهید هر زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ در گروه از مرتبه $p^{(n)}$ یک زیرگروه نرمال است.

نشان دهید که اگر $H$ و $K$ زیرگروه‌های گروه $G$ باشند، آنگاه $H \cap K$ نیز زیرگروه $G$ است.

$R$ میدان است اگر و تنها اگر دقیقا دو ایده‌آل داشته باشد.

نشان دهید اگر در حلقه‌ی $R$ عناصر $a$ و $b$ و $a+b$ خودتوان باشند، آنگاه $ab$ نیز خودتوان است.

اگر $Q_8$ گروه کواترنیون‌های هشت عضوی باشد و $S_3$ گروه جایگشت‌های روی سه حرف، آنگاه گروه $Q_8 \times S_3$ چند عنصر مرتبه‌ی 12 دارد؟

فرض کنید $A$ ماتریسی $\text{2×2}$ بر روی میدان(هیأت) $F$ باشد. نشان دهید که $A$ معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر $\text{det}\left(A\right)\ne 0$. اگر $A$ معکوس‌پذیر باشد، فرمولی برای $A^{-1}$ بدست آورید.

آیا تبدیلی خطی مانند $T$ از ${\mathrm{ℝ}}^3$ به ${\mathrm{ℝ}}^2$ وجود دارد که $T\left(1,-1,1\right)=\left(1,0\right)$ و $T\left(1,1,1\right)=\left(0,1\right)$؟

فرض کنید $V$ فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ $F$ از اعداد مختلط باشد و $\alpha$، $\beta$ و $\gamma$ در $V$ مستقل خطی باشند. ثابت کنید $\left(\alpha +\beta \right)$، $\left(\beta +\gamma \right)$ و $\left(\gamma +\alpha \right)$ دارای استقلال خطی‌اند.

فرض کنیم $V$ فضای برداری همه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ بر روی میدان $F$ باشد. با یافتن پایه‌ای برای $V$ که 4 عنصر داشته باشد، ثابت کنید $V$ چهار بعدی است.

نشان دهید هر میدان با مشخصه‌ی صفر، شامل نسخه‌ای از میدان اعداد گویا است.

نشان دهید که هر زیرمیدان از میدان اعداد مختلط، شامل همه‌ی اعداد گویا است.

فرض کنید $\mathrm{F}$ مجموعه‌ی متشکل از تنها دو عنصر 0 و 1 باشد. تحقیق کنید که $F$ همراه با دو عمل زیر یک میدان است.

نشان دهید $M=\left\{x+y\sqrt{2} | x,y\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right\}$، زیرمیدانی از $\mathrm{ℂ}$ است.

نشان دهید

${\text{Hom}}_{\mathrm{\mathbb{Z}}}({\mathrm{\mathbb{Z}}}_6, \mathrm{\mathbb{Q}}\oplus {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3)\cong {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3$

فرض کنید $M$ یک $R$-مدول ساده باشد. نشان دهید تعداد زیر مدول‌های $M\oplus M$، می‌تواند نامتناهی باشد.

فرض کنیم $M$ و $N$ دو $R$-مدول باشند و $\phi :M\to N$ یک $R$-همریختی پوشا. اگر $K و L$، زیرمدول‌هایی از $M$ باشند با این ویژگی که $M = K+L$ و $K \cap L = Ker\left(\phi \right)$. ثابت کنید $N = \phi \left(K\right) \oplus \phi \left(L\right)$.

فرض کنیم $M$ یک $R$-مدول باشد و $\phi :M\to M$ یک $R$-همریختی. اگر ${\phi }^2 = \phi$، ثابت کنید $M = \text{Ker}\left(\phi \right) \oplus \text{Im}\left(\phi \right)$.

$R$-مدولی متناهی-مولد مثال بزنید که به عنوان گروه آبلی، متناهی-مولد نباشد.

فرض کنید $M$، $R$-مدولی غیرصفر باشد. $N$ زیرمدول سره‌ای از $M$ و $x \in M\backslash N$. ثابت کنید مجموعه‌ی $\Gamma = \left\{K \le M | N\subset K, x \notin K\right\}$ عضوی ماکسیمال دارد.

فرض کنیم $L$ یک $R$-مدول باشد و $M$ و $N$ زیرمدول‌هایی از $L$. اگر $M+N$ و $M \cap N$  متناهی-مولد باشند. نشان دهید $M$ و $N$ نیز متناهی-مولد هستند.

$J\left(R\right[x\left]\right)$ را با فرض این که $R$ یک حوزه صحیح باشد، محاسبه کنید.

نشان دهید :

$\frac{R}{I}\otimes \frac{R}{J}\underset{R}{\cong }\frac{R}{(I+J)}$

نشان دهید هر مدول پروژکتیو متناهی-مولد روی یک حلقه‌ی جابجایی موضعی، آزاد است.

آیا $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\mathbb{Q}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{\mathbb{Z}}$}\right.$ پروژکتیو است؟

آزاد بودن $\mathbb{Z}_{n}$ به عنوان گروه آبلی

با چه شرایطی روی حلقه‌ی $R$ می‌توانیم مدولی داشته باشیم که به عنوان $R$-مدول هم پروژکتیو باشد هم انژکتیو.

هر $R$-مدول انژکتیو $\Longleftrightarrow$ هر $R$-مدول پروژکتیو

آیا $(\mathbb{Z}, + , \cdot)$ یک میدان است؟

آیا $\mathbb{Z}$ یک ایده‌آل از حلقه‌ی $\mathbb{Q}$ است؟

آیا $(\mathbb{Z}-\{0\}, \cdot)$ زیرگروهی از گروه $(\mathbb{Q}-\{0\}, \cdot)$ است؟

آیا مجموع دو ایده‌آل اول، ایده‌آلی اول است؟

آیا ایده‌آل $(2, x^2 + 5) \subset \mathbb{Z}[x]$، یک ایده‌آل اول است؟

آیا $\mathbb{Q}$ به عنوان $\mathbb{Z}$-مدول، آزاد است؟

$R$ حلقه‌ی جابجایی و یکدار و $I$ یک ایده‌آل آن که $\dfrac{R}{I}$ یک $R$-مدول تصویری است

تعداد جواب‌های طبیعی معادله‌ی $x+y+z+t+k = 30$، با شرط این که هر کدام بزرگتر از $5$ باشند.

باقی‌مانده‌ی عدد $2^{31} + 3^{31} + 4^{31}$ بر $7$

با فرض $5x+4y = 3$، مقدار $x-y$ چیست؟

مجموع مقسوم‌علیه‌های مثبت عدد 72

جواب معادله‌ی $x^{5} + 8x \equiv^{5} 1$

$gcd(n,n+1) = 1$

باقیمانده‌ی تقسیم $3^{36} - 2^{36}$ بر $35$

رقم یکان عدد $(493623)^{4938}$

دسته‌ی هم‌نهشتی عدد $-209$ به پیمانه‌ی $12$

باقی‌مانده‌ی تقسیم $2^{1373}$ بر $k$