# ریاضیات

ثابت کنید

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$

نشان دهید برای هر عدد طبیعی $n$

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sqrt{n}$

نشان دهید اگر $A$ ماتریسی وارون‌ناپذیر و $A+adj(A)$ ماتریسی وارون‌پذیر باشد، آنگاه $rank(A)=n-1$.

تقسیم 200 توپ در 100 جعبه

نشان دهید هر زیرگروه از مرتبه $p^{(n-1)}$ در گروه از مرتبه $p^{(n)}$ یک زیرگروه نرمال است.

تعداد حالات ممکن برای نشستن $n$ بچه روی $n$ صندلی به شرطی که فاصله آنها حداکثر یک صندلی باشد

نشان دهید اگر در حلقه‌ی $R$ عناصر $a$ و $b$ و $a+b$ خودتوان باشند، آنگاه $ab$ نیز خودتوان است.

باقیمانده عدد $2^{31}+3^{31}+4^{31}$ بر هفت چیست؟

با ارقام 3,3,3,3,0,0,0,0 چند عدد زوج هشت رقمی می‌توان ساخت؟

دانشجویی هر روز بعد از کلاس درس به یکی از سه نوع بازی کامپیوتری می‌پردازد. به چند طریق می‌تواند هر روز بازی کند به طوری که در طول یک هفته‌ی تحصیلی هر یک از سه نوع بازی را حداقل یک بار انجام دهد؟

فرض کنید $f,g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$، $f\left(n\right)=n$ و $g\left(n\right)={\log }_2\left(n\right)$ برای $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$. نشان دهید که $g\in O\left(f\right)$ ولی $f\notin O\left(g\right)$.

اگر $g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ و $c\in \mathrm{ℝ}$، تابع $cg:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ را بوسیله‌ی $\left(cg\right)\left(n\right)=c\left(g\left(n\right)\right)$، برای هر $n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$ تعریف می‌کنیم. ثابت کنید که اگر $f,g:{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\stackrel{}{\to }\mathrm{ℝ}$ با $f\in O\left(g\right)$، آنگاه $f\in O\left(cg\right)$ به ازای $c\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$، $c\ne 0$.

برای هر $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$، $n\ge 0$ ثابت کنید $2^{2n+1}+1$ بر $3$ و $n^3+{\left(n+1\right)}^3+{\left(n+2\right)}^3$ بر $9$ بخش‌پذیر هستند و $\frac{n^7}{7}+\frac{n^3}{3}+\frac{11n}{21}$ عددی صحیح است.

توصیف رفتار توابع مثلثاتی

تساوی زیر را با استفاده از علامت‌های +  +  +  +  + کامل کنید

$1 2 3 4 5$

$=$

$5 4 3 2 1$

ساعتی در هر شبانه‌روز 4 دقیقه عقب می‌ماند. اگر با یک ساعت دقیق آن را تنظیم کرده باشیم، مجدداً پس از چند روز زمان صحیح را نشان خواهد داد؟

اگر اعداد 2، 5، 7 و 8، هر کدام در یکی از مربع‌های زیر بتوانند قرار بگیرند (هر عدد فقط در یک مربع)، چند عدد مثبت مختلف ($A$) حاصل می‌شود؟

$\left(\square -\square \right)+\left(\square -\square \right)=A$

اگر $Q_8$ گروه کواترنیون‌های هشت عضوی باشد و $S_3$ گروه جایگشت‌های روی سه حرف، آنگاه گروه $Q_8 \times S_3$ چند عنصر مرتبه‌ی 12 دارد؟

فرض کنیم اول فروردین‌ماهِ یک سال شمسی، روز پنج‌شنبه باشد و هر سال 20 روز تعطیل رسمی داشته باشد. اگر 4 روز از تعطیلات رسمی با روز جمعه مصادف باشد، در این سال جمعاً چند روز تعطیل است؟

$n$ اتومبیل در یک مسیر دایره‌ای وجود دارند. تمام آنها با هم مجموعاً به اندازه‌ای سوخت دارند که یک اتومبیل با آن بتواند مسیر را به طور کلی طی کند. نشان دهید اتومبیلی وجود دارد که می‌تواند تمام مسیر را یک بار طی کند در صورتی که از اتومبیل‌های دیگر سوخت بگیرد.

شطرنج خدایان

بین اعداد زیر از چپ به راست ارتباط خاصی برقرار است. به جای علامت سوال، چه عددی باید قرار گیرد؟

$3,4,7,16,43,?$

یک ردیف از $n$ صندلی داریم به طوری که روی هر کدام یک بچه نشسته است. هر بچه می‌تواند تا حداکثر یک صندلی تغییر مکان بدهد. تعداد آرایش‌های ممکن را بیابید.

فرض کنیم $2n$ نقطه در فضا داریم و در مجموع $n^2+1$ پاره‌خط بین آنها رسم شده است. نشان دهید حداقل یک مجموعه از سه نقطه وجود دارد که دو به دو به وسیله‌ی پاره‌خط‌هایی به هم وصل شده‌اند.

فرض کنیم $S$ مجموعه‌ای متشکل از 25 نقطه در صفحه باشد به طوری که از هر سه نقطه‌ی آن حداقل 2 تا با فاصله‌ی کمتر از یک از هم قرار داشته باشند.
نشان دهید 13 نقطه از $S$ وجود دارند به طوری که می‌توان آنها را با یک دیسک (دایره‌ی توپر) به شعاع یک پوشاند.

ثابت کنید در بین هر 5 عدد طبیعی، همواره حاصل‌جمع سه تا از آنها بر 3 بخش‌پذیر است.

 $n$ نفر در یک اتاق حضور دارند. ثابت کنید که در بین آنها حتما دو نفر پیدا می‌شوند که تعداد دوستانشان در این اتاق با هم برابر باشد.

ثابت کنید $\cos \left(1°\right)$ عددی گنگ است.

تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از 1001، که بر 3 یا 4 بخش‌پذیر هستند، اما بر 5 بخش‌پذیر نیستند را بیابید.

اگر ماتریس $A$ به طور تصادفی از مجموعه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ با درایه‌های صحیح انتخاب شود، آنگاه با چه احتمالی دترمینان $A$ عددی زوج است؟

فرض کنید $p$ و $p+2$ هر دو عدد اول و بزرگتر از 3 باشند. ثابت کنید $2p+2$ بر 12 بخش‌پذیر است.

فرض کنید $A$ ماتریسی $\text{2×2}$ بر روی میدان(هیأت) $F$ باشد. نشان دهید که $A$ معکوس‌پذیر است اگر و تنها اگر $\text{det}\left(A\right)\ne 0$. اگر $A$ معکوس‌پذیر باشد، فرمولی برای $A^{-1}$ بدست آورید.

آیا تبدیلی خطی مانند $T$ از ${\mathrm{ℝ}}^3$ به ${\mathrm{ℝ}}^2$ وجود دارد که $T\left(1,-1,1\right)=\left(1,0\right)$ و $T\left(1,1,1\right)=\left(0,1\right)$؟

فرض کنید $V$ فضای برداری بر روی یک زیرمیدانِ $F$ از اعداد مختلط باشد و $\alpha$، $\beta$ و $\gamma$ در $V$ مستقل خطی باشند. ثابت کنید $\left(\alpha +\beta \right)$، $\left(\beta +\gamma \right)$ و $\left(\gamma +\alpha \right)$ دارای استقلال خطی‌اند.

فرض کنیم $V$ فضای برداری همه‌ی ماتریس‌های $2\times 2$ بر روی میدان $F$ باشد. با یافتن پایه‌ای برای $V$ که 4 عنصر داشته باشد، ثابت کنید $V$ چهار بعدی است.

دستگاه معادلات $AX=0$ را که در آن $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$، یک ماتریس $2\times 2$ روی میدان $F$ است، در نظر بگیرید و احکام زیر را ثابت کنید.

همه‌ی جواب‌های دستگاه معادلات $\left\{\begin{array}{l}\left(1-i\right)x_1-i{x}_2=0\\ 2x_1+\left(1-i\right)x_2=0\end{array}\right.$ را بدست آورید.

نشان دهید هر میدان با مشخصه‌ی صفر، شامل نسخه‌ای از میدان اعداد گویا است.

نشان دهید که هر زیرمیدان از میدان اعداد مختلط، شامل همه‌ی اعداد گویا است.

فرض کنید $\mathrm{F}$ مجموعه‌ی متشکل از تنها دو عنصر 0 و 1 باشد. تحقیق کنید که $F$ همراه با دو عمل زیر یک میدان است.

فرض کنید $F$ میدان اعداد مختلط باشد، آیا دو دستگاه معادلات خطی زیر هم‌ارزند؟

اگر $A$ و $B$ دو پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند، به طوری که $P\left(A\right)=0.2$ و $P\left(B\right)=0.22$ و $P\left(B|A\right)=0.7$، آنگاه $P\left(B^{\text{'}}|A^{\text{'}}\right)$ کدام است؟

تعداد اعداد طبیعی دو رقمی که نسبت به 105 اول باشند، کدام است؟

اگر $357x+629y=\left(357,429\right)$، آنگاه کوچکترین عدد مثبت $x+y$ کدام است؟

یک عدد طبیعی فرد و مربع کامل، با بیشترین مقدار ممکن، به صورت ${\left(abc\right)}_8$ نوشته می‌شود. $a+c$ کدام است؟

مجموعه $A=\left\{a,b,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\}\right\}$ را به چند طریق می‌توان به 3 زیرمجموعه افراز کرد؟

مجموعه‌ی S دارای 50 عضو از اعداد طبیعی است. در تقسیم عضوهای S بر 12، حداقل چند عضو، باقی‌مانده‌ی یکسان دارند؟

در نمودار جعبه‌ای 36 داده‌ی آماری، میانگین داده‌های دو طرف جعبه جداگانه به ترتیب 22 و 30 است. اگر میانگین تمام داده‌ها 27.5 باشد، آنگاه میانگین داده‌های داخل جعبه کدام است؟

هشتاد داده آماری در $7$ طبقه دسته‌بندی شده‌اند. اگر $20$ داده‌ی جدید به این جدول افزوده شود، فراوانی نسبی دسته‌ی وسط تغییر نمی‌کند. نسبت افزایش داده‌های دسته‌ی مذکور به فراوانی مطلق قبلی آن کدام است؟

مجانب‌های هذلولی به معادله‌ی $\frac{1}{4}{x}^2-y^2+ax+by=1$ در نقطه‌ی $\left(-2,1\right)$ متقاطع‌اند. عرض از مبدا خط مجانب آن با شیب مثبت، کدام است؟

به ازای کدام مقدار $a$ دو دایره به معادلات $x^2+y^2+4x=0$ و $x^2+y^2-2x+8y+a=0$، مماس خارج یکدیگرند؟

به جای علامت سوال، کدام عدد باید قرار بگیرد؟

$$\begin{gathered} 2\star 4=20 \\ 5\star 3=34 \\ 6\star 2=40 \\ 1\star 7=? \end{gathered}$$

فرض کنید $F: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $G: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ و $H: {\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ تبدیلات خطی با ضابطه‌‌های داده‌شده باشند، نشان دهید این سه به عنوان اعضایی از $\text{Hom}({\mathrm{ℝ}}^3,{\mathrm{ℝ}}^2)$، مستقل خطی هستند.

صفحه گذرا بر محور $y$ها و نقطه‌ی $\left(2,3,-1\right)$، با کدام بردار موازی است؟

اگر $f\left(x\right)=-x+\left[x\right]$ و $g\left(x\right)=2^x$، آنگاه برد تابع $gof$ کدام است؟

اگر $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 2& 1& 3\end{array}\right]$ درایه‌ی واقع در سطر اول و ستون دوم ماتریس $A^{-1}$ کدام است؟

اگر دامنه‌ی تابع $f\left(x\right) = \sqrt{a x^2+x + b}$ برابر مجموعه‌ی $\left\{\frac{1}{2}\right\}$ باشد، مقدار $a+b$ را به دست آورید.

ماتریس $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2& 5& 4\\ -3& 6& -1\end{array}\right]$ به صورت مجموع یک ماتریس متقارن و یک ماتریس پادمتقارن نوشته شده است، دترمینان ماتریس متقارن کدام است؟

در یک دنباله‌ی حسابی مجموع 5 جمله‌ی متوالی برابر 5 و مجموع مربعات آن 45 باشد. جمله‌ی وسط این دنباله چند برابر مجذور قدرنسبت می‌باشد؟

در یک تصاعد عددی مجموع بیست جمله‌ی اول سه برابر مجموع دوازده جمله‌ی اول آن است. اگر جمله‌ی سوم برابر 6 باشد، جمله‌ی دهم کدام است؟

اگر لگاریتم عدد $2\sqrt[3]{0.25}$ در مبنای $8$ برابر $A$ باشد، آنگاه لگاریتم عدد $\left(\frac{1}{A}-1\right)$ در پایه‌ی $4$ کدام است؟

اگر $a$ و $b$ و $c$ سه بردار غیرصفر باشند، خلاصه شده‌ی $\left(2a-b\right)·\left(\left(b+c\right)\times \left(c-a\right)\right)$ کدام است؟

مشتق بیستم تابع $y = {(5 x^2 -3x+7)}^8+(4x^3-2{)}^4+\frac{1}{x}$ را در نقطه‌ی $x = 1$ حساب کنید.

مجموعه طول نقاط که تقعّر منحنی به معادله‌ی $y=\frac{-2}{x^2+3}$، رو به بالا باشد، به کدام صورت است؟

اگر داشته باشیم $\left[5x\right]=5\left[x\right]+2$، دقیق‌ترین محدوده‌ی $A = x-\left[x\right]$ کدام است؟

حد عبارت $\frac{\left|x^2-x-2\right|}{2x-\sqrt{x^2+12}}$ وقتی $x\to 2^{-}$ را بیابید.

جدول زیر را کامل کنید.

جواب کلی معادله‌ی مثلثاتی $\frac{\cos \left(5x\right)\cos \left(3x\right)-\sin \left(3x\right)\sin \left(x\right)}{\cos \left(2x\right)}=1$ را بیابید.

اگر مماس چپ و مماس راست تابع $f\left(x\right)=\left|x\right|\left(x+a\right)$ در نقطه‌ی زاویه‌دار آن عمود بر هم باشند، مجموعه‌ی مقادیر $a$ را بیابید.

دنباله‌ی $\left\{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right\}$، چگونه است؟

اگر $f\left(x\right)=\frac{x+11}{x^2-3x-4}$ و $g\left(x\right)=\frac{3}{x-4}$، نقطه‌ی تلاقی مجانب‌های نمودار تابع $f-g$ را بیابید.

از نقطه‌ی $A\left(0,\alpha \right)$ دو خط مماس عمود بر هم بر منحنی به معادله‌ی $y=\frac{1}{2}{x}^2+3$ رسم شده است. $\alpha$ را بیابید.

اگر $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ باشد، ضابطه‌ی تابع $f^{-1}\left(\sin x\right)$ را بیابید.

مجموع سری $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{8^k-5^{k+1}}{{10}^k}$ را بیابید.

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله‌ی $x(5x+3)=2$ باشند، به ازای کدام مقدار $k$ مجموعه جواب‌های معادله‌ی $4x^2-kx+25=0$ به صورت $\left\{\frac{1}{{\alpha }^2},\frac{1}{{\beta }^2}\right\}$ است؟

با چهار تا عدد 7 و یک عدد 1 معادله‌ای بسازید که برابر با 100 باشد.

در بین اعداد زیر، از چپ به راست ارتباط خاصی برقرار است. به جای علامت سوال، چه عددی می‌تواند قرار بگیرد؟

13,15,19,27,32,?

اگر $A$ یک ماتریس وارون‌پذیر $3\times 3$ با درایه‌ها در میدان $\mathrm{ℝ}$ باشد و داشته باشیم $\text{tr} A = \text{tr} A^2=0$ و $\text{det} A=1$، آنگاه $A^3=I$.

از اعداد طبیعی $\left\{0,1,2,..., 4n-1\right\}$ شروع می‌کنیم. در هر مرحله دو عدد دلخواه a و b را انتخاب و به جای آن‌ها در دنباله عدد $\left|a-b\right|$ را قرار می‌دهیم. ثابت کنید بعد از $4n-2$ مرحله یک عدد زوج باقی می‌ماند.

اول مهرماه و 22 بهمن سالی که با سه‌شنبه آغاز می‌شود